时间：2022-10-29 06:44:06
数学美感是数学创造性思维中的重要因素之一. 所谓数学美感,是指人们从事数学研究时最高层次的显意识和潜意识相结合的思维方式,能唤起和激发人的高级享受的心理体验. 数学解题过程何尝不是如此?数学之美能够启迪我们的思维,让我们直达成功的彼岸!
一、追求简单美,由繁琐到精致
拉丁有句名言:“简单是真的标志.”数学中的简单美包括计算过程短,推理步骤少,逻辑结构浅显,以及解答形式简捷. 一个数学问题如果能用简单的知识、简易的方法对其本质洞察或处理,则往往能找到解题的精简途径.
例1 求函数f(x)=-sin■(1-2cos2■)的导数.
解析 函数表达式比较复杂,我们可以先化简,再求导.
因为f(x)=-sin■(1-2cos2■)
=sin■cos■
=■sinx,
所以f′(x)=■cosx.
点评 当题目中给出的表达式不够“精简”时,我们应优先考虑将其化简,追求简单美,然后再继续作答,胜利往往就在眼前!
二、营造和谐美,由不协调到协调
数学中的和谐美是指部分与部分、部分与整体之间的统一与协调. 数学推理的严谨性在数学中还表现为一定意义上的不变性,即在不同对象或同一对象的不同组成部分之间存在共同的规律. 如利用整体法解决数学问题就是这方面的好例子.
例2 如图1,已知三棱锥P-ABC,PA=BC=2■,PB=AC=10,PC=AB=2■,则三棱锥P-ABC的体积为()
A. 40 B. 80
C. 160 D. 240
解析 若按常规方法利用体积公式求解,则会让人感到无从下手. 若能换个角度来思考,注意到此三棱锥有三对边两两相等,并把它放在一个特定的长方体中,则问题不难解决.
如图2所示,把三棱锥P-ABC补成一个长方体AEBG-FPDC,易知三棱锥P-ABC的各边分别是长方体的面对角线. 不妨令PE=x,EB=y,EA=z,则由已知有
x2+y2=100,x2+z2=136,y2+z2=164. 解之得x=6,y=8,z=10.
故VP-ABC=VAEBG-FPDC-4VP-AEB=480-4×80=160.
故选C.
点评 整理补形,是立体几何快速解题的“绿色通道”,对于某些图形,若能补成正方体、长方体等“完美图形”时,解题思路便会凸现!
三、构思奇异美,由常规到新颖
数学中的奇异性是指和谐性或统一性在一定条件下的破坏,是数学中的新思想、新理论、新方法对原有的习惯法则和统一格局的突破. 培根说:“没有一个极美的东西不是在调和中有着某些奇异.”在数学解题中,奇异性的存在使得某些解题方法能够发挥出乎意料的作用.
例3 cos■+cos■的值为 .
解析一看到题目,很多人会用和差化积公式来化简,但显然化简出来的并不是一个特殊值,这时,我们就可以考虑利用构造法.
设x=cos■+cos■,y=cos■-cos■>0,则有
xy=cos2■-cos2■
=■(1+cos■)-■(1+cos■)
=■(cos■-cos■).
约去y得x=-■,即
cos■+cos■的值为-■.
点评 对于非特殊角的三角函数的求值问题,往往可以根据所给三角式的特点,构造新的三角式,为有效应用三角公式解题创造条件.