直接函数与反函数及使用求导符号存疑研究

【摘要】某权威教材中的反函数求导部分把直接函数与反函数搞混，求导符号的使用易产生歧义，为此进行研究。由于函数是数学教学中的重点，故应在数学教学中重视反函数的教学。反函数的难点是既要面子又要里子，反函数要面子为的是追求美，反函数要里子为的是追求本。美的反函数是矫形反函数，本的反函数是本义反函数，其实质是同一函数。矫形反函数与本义反函数是掌握反函数的两把钥匙，借助此两把钥匙来打开反函数的学门。解决问题一：借助反正弦函数求导推导，澄清反函数为已知函数时就是直接函数，显见反正弦函数的反函数就是正弦函数；解决问题二：求导符号的使用不产生歧义，巧妙使用求导符号。

【关键词】函数的实质 直接函数 矫形反函数 本义反函数

巧妙使用求导符号

一、函数的实质

在函数的学习中应理解好函数y=f（x）的实质，即对应法则f是作用在函数y=f（x）定义域上的函数。

二、直接函数

1.函数y=f（x）扮演的几种角色

在反函数教学中，学生容易把函数y=f（x）称为原函数，为此需解释函数y=f（x）扮演的几种角色。

在隐函数教学中称函数y=f（x）为显函数；在反函数教学中不要称函数y=f（x）为原函数，而称函数y=f（x）为直接函数；在微积分教学中称函数y=f（x）为导函数f′（x）的一个原函数。

2.直接函数的简单解释

由于函数y=f（x）是直接给出的函数（已知函数），故把函数y=f（x）称作直接函数。

三、要里子的反函数――本义反函数

在直接函数y=f（x）中是用x表示y，所谓函数y=f（x）的反函数就是反过来表示的函数，即用y表示x，函数 反函数的专用记号为x=f-1（y），把函数x=f-1（y）称为函数y=f（x）的本义反函数，函数x=f-1（y）就是要里子的反函数。反函数要里子为的是追求本，本的反函数是本义反函数。

案例1需求函数Q=f（p）的反函数――价格函数P=f-1（Q）就是本义反函数。

四、要面子的反函数――矫形反函数

本义反函数x=f-1（y）中的自变量与因变量的记法与习惯表示不一致，为了与习惯表示保持一致，需要把本义反函数x=f-1（y）中的自变量与因变量互换位置，得y=f-1（x），把函数y=f-1（x）称为函数y=f（x） 的矫形反函数，函数y=f-1（x）就是要面子的反函数。反函数要面子为的是追求美，美的反函数是矫形反函数。

案例2指数函数y=ax的反函数――对数函数x=loga就是本义反函数，而对数函数y=logax就是矫形反函数。

案例3正弦函数y=sinx的反函数――反正弦函数x=arcsiny就是本义反函数，而反正弦函数y=arcsinx就是矫形反函数。

五、矫形反函数与本义反函数的同一性

1.矫形反函数与本义反函数中的变

矫形反函数与本义反函数中的变只是自变量与因变量互换位置，变是为了美，美是人们追求的东西。

2.矫形反函数与本义反函数中的不变

矫形反函数与本义反函数中的不变是反函数的专用记号――对应法则f-1，不变是本质，对应法则f-1是作用在函数y=f（x）值域上的反函数。矫形反函数与本义反函数实质上是同一函数。

六、反正弦函数的求导推导

下面借助案例4澄清反函数为已知函数时就是直接函数，显见反正弦函数的反函数就是正弦函数。

七、巧妙使用求导符号

案例5求（siny）′

解此求导符号的使用易产生歧义，对谁求导不明确。若使用微商的求导符号，则对谁求导很明确，不会产生歧义，如

（案例4中正是此妙用），而

。

参考文献：

[1]同济大学数学教研室主编.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1997.