利用几何法解解析几何问题

解析几何是用代数的方法解决几何问题，优点在于利用纯粹的代数运算便于变形和得到结论，但是有的习题如果从几何本身的属性出发利用几何方法解决问题，可以起到事半功倍的效果，本文结合实例来见证利用几何法解决解析几何问题的美妙之处。

一、利用几何法判断曲线的轨迹

例1 已知F1，F2是椭圆■+■=1的焦点，P点是椭圆上的动点，过点F2做∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为点Q，求点Q的轨迹。

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解：延长F2Q交F1P的延长线于点H，连接OQ。

由平面几何知识知|F1H|=|F1P|+|PF2|=10，且OQ为F1F2H的中位线，所以|OQ|=■|F1H|=5，所以点Q的轨迹是以O为圆心，以长度5为半径的圆。

例2 已知一动圆C与圆C1：（x+3）2+y2=1外切，与圆C2：（x-3）2+y2=81内切，求动圆圆心C的轨迹。

解：设动圆C的半径为r，由题及图像的几何特征知，|CC1|=r+1，|CC2|=9-r。

所以|CC1|+|CC2|=10>|C1C2|。

所以动圆圆心C的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为10的椭圆。

二、利用几何性质求最值

例3 已知点P是抛物线y2=8x上的动点，F为抛物线的焦点，A（3，2），求|PF|+|PA|的最小值。

解：过点P作抛物线y2=8x准线的垂线，垂足为Q点，过点A做抛物线准线的垂线，垂足为点A′，由抛物线的定义知|PQ|=|PF|，所以|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥

|AA′|=5。

所以|PF|+|PA|的最小值为5。

例4 已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条互相垂直的弦，垂足为M（1，■），则四边形ABCD的面积最大值为_______。

解：设圆心O到弦AC，BD的距离为d1，d2，垂足分别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有d21+d22=3。

由平面几何知识知：|AC|=2■，|BD|=

2■。

S四边形ABCD=■|AC|·|BD|=2■×■≤4-d21+4-d22=8-（d21+d22）=5。

即四边形ABCD面积的最大值为5。

三、利用几何性质求解离心率的有关问题

例5 椭圆■+■=1（a>b>0）的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则椭圆离心率的取值范围为_______。

解：由定义和|PF1|=2|PF2|易知，|PF1|=■a，|PF2|=■a，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可以求得e∈[■，1）。

例6 已知双曲线■-■=1（a>0，b>0），焦点为F1（-c，0），F2（c，0），过F1作圆x2+y2=■的切线，切点为E，延长F1E交双曲线右支于点P，若■=■（■+■），求双曲线的离心率。

解：连接|PF2|，因为■=■（■+■），所以点E为F1P的中点，且OEF1P，在F1PF2中为中位线，由平面几何知识易知：|PF2|=a，则|PF1|=3a，且F1PF2为直角三角形，因为（3a）2+a2=（2c）2，从而解得e=■。

（作者单位：河南省郑州市第四中学）