利用构造方程求解解析几何问题

我们在谈求解析几何问题时，如能敏税地捕捉信息，联想方程原理，恰当地构造辅助方程，则使求解简捷速成，且有助于培养学生的形象思维和创造能力.首先强调一点，构造就是要“无中生有”.

一、构造辅助虚圆解题（即把“点”看成是半径为零的圆解题）

例1求与圆（x-1）2+（y+1）2=4相切于（-1，1），且通过点P（-2，1）的圆的方程.

解把切点（-1，1）看作是半径为零的圆（虚圆）：（x+1）2+（y-1）2=0，则所求圆属于圆系：（x-1）2+（y+1）2-4+λ[（x+1）2+（y-1）2]=0②.

由点P（-2，1）在所求圆上，

将P点坐标代入②得λ=-95.

从而可得所求圆的方程为（x+72）2+（y+1）2=254.

二、构造辅助圆解题

例2过圆外一点P（a，b）作圆x2+y2=r2的两条切线，切点分别为M、N.证明：直线MN的方程为ax+by=r2.

证明点M、N的已知圆上，又在以OP为直径的圆上，

所以以OP为直径的圆的方程为

（x-12a）2+（y-12b）2=14（a2+b2），

即x2+y2-ax-by=0.（1）

又圆O的方程是x2+y2-r2=0，（2）

（1）-（2），整理得ax+by=r2，此为过两切点M、N的直线方程.

三、构造辅助抛物线解题

例3求抛物线y=18x2中，以P（1，2）为中点的弦所在直线的方程.

解设所求弦的一个端点为A（x，y），则由中点公式得另一个端点为B（2-x，4-y）.由A、B在抛物线上，有

y=18x2，（1）

（4-y）=18（2-x）2.（2）

由（1）-（2）得x-4y+7=0，此为所求直线方程.

四、构造辅助椭圆解题

例4过点A（2，1）引直线与椭圆x216+y29=1相交于P、Q两点，若点A恰好是线段PQ的中点，求直线PQ的方程.

解设P（x，y），则Q（4-x，2-y）.

因为点P、Q在椭圆上，

所以x216+y29=1，（1）

（4-x）216+（2-y）29=1.（2）

（1）-（2），整理得9x+8y-26=0，此为所求直线PQ的方程.

五、构造二元一次方程解题

例5已知直线a1x+b1y+8=0与直线a2x+b2y+8=0相交于点（3，-2），求过两点（a1，b1）（a2，b2）的直线方程.

解因为（3，-2）为直线a1x+b1y+8=0与直线a2x+b2y+8=0的公共点，

所以3a1-2b1+8=0，

3a2-2b2+8=0，

构建二元一次方程3x-2y+8=0，由上式知点（a1，b1）、（a2，b2）的坐标适合此方程.由“两点定线”原理知方程表示的直线3x-2y+8=0过（a1，b1）（a2，b2）两点.故所求直线方程为3x-2y+8=0.

六、构造直角三角形（利用垂直）解题

例6过点A（4，0）的直线与圆x2+y2=4相交于B、C两点，求弦BC的中点M的轨迹.

解连OM，根据圆的垂径性质性质，可知OMMA.所以点M的轨迹是以|OA|为直径的圆（x-2）2+y2=4，位于圆x2+y2=4内的一段弧.

由此可见，构造辅助方程，并利用方程的相关知识来解题，解答过程极具想象力和创造力.其实有的时候不怕做不到，只怕想不到.只要我们多观察、多思索、多探索，数学解题就会变得充满活力与乐趣.

著名的教育家波利亚说过：“当原问题看来不可解时，人类的高明之处就在于会迂回绕过不能直接克服的障碍，就在于能想出某个适当的辅助问题.”可见，利用构造法解题是数学常用的方法，也常能出奇制胜，起到化难为易、简化解题的作用.