深度挖掘,使教材例习题的效益最大化

纵观近几年的高考题，有许多能在课本中找到原形，或略高于课本例题和习题，因此掌握课本的例题和习题显得至关重要，笔者仅对平面向量和不等式的内容略举几例作一说明。

【例1】 （2011•安徽理4）设变量x,y满足|x|+|y|≤1，则x+2y的最大值和最小值分别为 和 .

分析 本题属于简单的线性规划问题，解题的切入点是如何根据对称性作出已知的可行域。

解 1. 作出可行域如图所示.

2. 建立目标函数p=x+2y，考虑p=x+2y的几何意义，将p=x+2y变形为y=－12x+p2，它表示斜率为－12，在y轴上的截距为p2的直线.

3. 平移直线y=－12x+p2，

当它经过(0,1)时，p=x+2y取到最大值2，

当它经过(0,－1)时，p=x+2y取到最小值－2.

所以x+2y的最大值和最小值分别为2和-2.

点拨 本题主要考查了简单的线性规划问题，此题根据必修5 P80第1题改编。

原题为：若x≥0,y≥0,且x+y≤1,则z=x－y的最大值是（ ）

A. －1 B. 1

C. 2D. －2

【例2】 （2011•重庆理7）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=1a+4b的最小值是 .

分析 本题考查基本不等式的灵活应用，本题的切入口是“1”的代换。

解 因为a+b=2，所以a+b2=1，

所以y=1a+4b=a+b2a+2(a+b)b

=b2a+2ab+52，

因为a＞0，b＞0，

所以y=b2a+2ab+52≥2+52=92(当且仅当b=2a时等号成立).

点拨 本题考查基本不等式的灵活应用，本题根据必修5 P94第13题改编。

原题为：已知正数x,y满足x+2y=1，求1x+1y的最小值.

【例3】 （2011•北京理10）已知向量a=(3,1)，b=(0,－1)，c=(k,3).若a－2b与c共线，则k= .

分析 本题考查平面向量的坐标表示与共线定理，本题的切入口是向量的坐标表示。

解 因为a=(3,1)，b=(0,－1)，

所以a－2b=(3,3)，

因为a－2b与c共线，所以3×3－3k=0，

所以k=1.

点拨 本题属于向量的基础题，本题根据必修4 P75第1题改编。

原题为：已知向量a=（4，3），b=（6，y），且a∥b，求实数y的值.

【例4】 （2011•江苏10）已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a=e1－2e2,b=ke1+e2.若a•b=0，则实数k的值为 .

分析 本题属于向量数量积的综合应用问题，解题的切入点是如何将a•b=0转化为e1，e2之间的关系，再利用数量积的相关知识解决此问题。

解 因为e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，所以e1•e2=1×1×cos2π3=－12，

因为a=e1－2e2,b=ke1+e2且a•b=0，

所以a•b=(e1-2e2)(ke1+e2)

=ke21+(1-2k)e1•e2-2e22

=k－2+(1－2k)•－12

=2k－52=0，

所以k=54.

点拨 本题考查平面向量的数量积及其应用。本题根据必修4 P87第10题和P87第13题改编。

原题1为：（P87第10题）已知a=(－3,1)，b=(1,－2)，若(－2a+b)(a+kb)，求实数k的值.

原题2为：（P87第13题）已知e1，e2是两个不共线的向量，a=e1－2e2,b=ke1+e2.若a与b是共线向量，求实数k的值.

牛刀小试

1. （2010•浙江理7）若实数x，y满足不等式组x+3y－3≥0,2x－y－3≤0,x－my+1≥0,且x+y的最大值为9，则实数m= .

2. （2007•山东理16)函数y=loga(x+3)－1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0,则1m+2n的最小值为 .

3. （2011•江西理11）已知|a|=|b|=2,(a+2b)•(a－b)=－2，则a与b的夹角为 .

【参考答案】

1. 将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案为1，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题.一般地,线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.

2. 图象恒过定点A(－2,－1)代入直线mx+ny+1=0得2m+n=1.

1m+2n=1m+2n(2m+n)

=4+nm+4mn≥8,

所以1m+2n的最小值为8.

3. 本题主要考查平面向量的数量积及其性质的综合应用，本题的切入口是向量夹角和数量积的定义.

因为(a+2b)(a－b)=－2，

所以a2+a•b－2b2=－2.

因为|a|=|b|=2,所以a•b=2.

设a与b的夹角为θ(0

则|a|•|b|cosθ=2.

因为|a|=|b|=2,所以cosθ=12.

因为0

（作者：胡雪梅,盐城市第一中学）