时间：2022-09-07 05:18:53
解决数学问题有三种境界:就题论题、就题论法、就题论道。
就题论题：只囿于题目本身，问什么答什么，不讲方法不思变式；
就题论法：通过题目这个载体思考解题的一般方法，明确建立能够举一反三的通法；
就题论道：是解题的最高境界，在这个过程中，不只学习一般的解题方法，而且由联想推广到一般的结论，力争找出反映问题本质属性的规律。
我们解决数学问题需要在“题”上反映思维性，“法”上降低思维度，“道”上优化思维量。本文就不等式和平面向量中的经典问题的解法探讨、归纳、引申与类比拓展，体验解题的三种境界。
【例1】 若正实数x,y满足x+y+8=xy，则x+y的最小值是 ．
分析1 将x+y看成一个变元，问题的关键是变成如何转化掉条件中的xy，则由均值不等式xy≤x+y22可实现这一转化。
解法１ x,y均为正实数，
xy≤x+y22，x+y+8=xy≤x+y22，
(x+y)2－4(x+y)－32≥0,
解之得x+y≥8或x+y≤－4（舍）.
当且仅当x=y=4时，x+y的最小值是8．
分析2 由x+y+8=xy知只要求出xy的最小值，就可以求出x+y的最小值。
解法２ x,y均为正实数，
xy=x+y+8≥8+2xy，解之得xy≥4，
即有xy≥16，
x+y+8=xy≥16，即有x+y≥8.
当且仅当x=y=4时，x+y的最小值是8．
分析3 对x+y进行整体换元，令x+y=t，消去y或x构造关于x或y的一元二次方程，利用根的判别式求解之。
解法３ 令x+y=t，y=t－x，
代入xy=x+y+8，消去y得x2－tx+t+8=0，
关于x的方程有解Δ=t2－4(t+8)≥0，
解之得t≥8或t≤－4（舍）.
当且仅当x=y=4时，x+y的最小值是8．
分析4 条件x+y+8=xy可变形为(x－1)•(y－1)=9，由极值定理积为定值和有最小值可以求解。
解法4 条件x+y+8=xy可变形为(x－1)•(y－1)=9且x,y中任意一个在区间(0,1］上都不可能,则必有x－1>0,y－1>0同时成立.
(x－1)+(y－1)≥2(x－1)(y－1)=6,
x+y≥8,当且仅当x=y=4时，x+y的最小值是8．
分析5 条件x+y+8=xy可变形为(x－1)•(y－1)=9，进一步可得x－1,3,y－1成等比数列，从而将x+y转化等比数列的基本量公比q的一元函数，求其最小值。
解法5 条件x+y+8=xy可变形为(x－1)•(y－1)=9，进一步可得x－1,3,y－1成等比数列,设公比为q(q>0).则有x－1=3q,y－1=3q,x+y=2+3q+3q≥2+23q×3q=8.
当且仅当q=1,即x=y=4时，x+y的最小值是8．
分析6 直接由条件x+y+8=xy解出y=x+8x－1，代入x+y消去y转化为求关于x的一元函数的最小值。
解法6 由条件x+y+8=xy解得y=x+8x－1，由y>0得x>1.
代入x+y消去y得x+y=x+x+8x－1=x－1+9x－1+2≥2(x－1)•9x－1+2=8,
当且仅当x=4,即当x=y=4时，x+y的最小值是8．
点拨 (1) 一般地，关于x,y的二元条件最值问题可以通过代入消元或整体换元的方法转化为一元函数或一元方程，再运用均值不等式或判别式求解，如解法3、解法6。
(2) 如果求最值式和条件式都是关于正数x,y的轮换对称式通常可以考虑直接使用均值不等式x+y2≥xy,xy≤x+y22,x2+y22≥x+y22来求解，如解法1、解法2。
(3) 在满足“一正、二定、三相等”的条件下的最值问题可以考虑用极值定理求解，如解法4。
(4) 在某些特殊的结构下还可以通过构造的方法求解，如解法3、解法5。
拓展延伸
我们先看下面的两道高考试题
1. （2010•重庆.理数.7）已知正实数x,y满足x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是 .
2. （2010•浙江.文数.15）若正实数x,y，满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是 .
这两道题随大家审题角度的不同可以有多种不同的解法,如何运用均值不等式的命题是基本立足点,但如何突破变量x,y系数的不同是一大难点。
如果在题1中令2y=t,则原题可转化为已知正实数x,t满足x+t+xt=8,则x+t的最小值是 .
如果在题2中令12y=t,则原题可转化为已知正实数x,t满足x+t+3=xt,则2xt的最小值是 .
这样运用例1中的各种方法不难求得题1中的最小值是4,题2中的最小值是18。
更一般地,形如axy+bx+cy=d条件下的某些最值问题可以运用换元法转化为轮换对称式后，更方便运用均值不等式求得最值。
【例2】 ［苏教版必修5 P83习题2.4第14题(探究与拓展)］设ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,且a•b=b•c=c•a,判断ABC的形状.
分析1 利用在ABC中的a+b+c=0和向量数量积的性质a2=|a|2实现三角形中的边长(向量的模)与向量运算之间的转化进行判断。
解法1 由a•b=b•c得b•(a－c)=0,又由a+b+c=0得b=－(c+a)，－(c+a)•(a－c)=0,所以a2－c2=0,即有|a|2－|c|2=0,所以|a|=|c|.
同理|b|=|c|,所以|a|=|b|=|c|,所以ABC是正三角形.
解法2 由a•b=b•c=c•a得a•b+b•c=b•c+c•a=c•a+a•b,
即b(a+c)=c(b+a)=a(c+b).
又由a+b+c=0得b=－(c+a),a=－(c+b),c=－(b+a)代入上式，得
－a2=－b2=－c2，所以得|a|=|b|=|c|，所以ABC是正三角形.
解法3 由a+b+c=0得b=－(c+a),a=－(c+b),分别平方得
b2=a2+2ac+c2,a2=b2+2bc+c2，由a•b=b•c=c•a将两式相减得
a2=b2，所以|a|=|b|,同理得|a|=|c|,所以|a|=|b|=|c|,所以ABC是正三角形.
分析2 利用向量数量积与三角形中的正弦定理、余弦定理等之间的内在联系进行判断。
解法4 由a•b=b•c=c•a及向量数量积的定义得：
|a|•|b|cos(π－C)=|b|•|c|cos(π－A)=|c|•|a|cos(π－B),
进一步可得：|a|cosA=|b|cosB=|c|cosC，又由正弦定理得tanA=tanB=tanC,
所以有A=B=C，所以ABC是正三角形.
解法5 由a•b=b•c及向量数量积的定义得：|a|•|b|cos(π－C)=|b|•|c|cos(π－A),
所以|a|cosC=|c|cosA,又由正弦定理得sinAcosC=sinCcosA,所以有sin(A－C)=0，所以A=C，同理B=C，所以A=B=C，所以ABC是正三角形.
解法6 由a•b=b•c及向量数量积的定义得：|a|•|b|cos(π－C)=|b|•|c|cos(π－A),
所以|a|cosC=|c|cosA，由余弦定理得|a|•|a|2+|b|2－|c|22|a|•|b|=|c||c|2+|b|2－|a|22|c|•|b|,
化简得|a|=|c|，同理|b|=|c|，所以|a|=|b|=|c|，所以ABC是正三角形.
分析3 利用平面向量运算的几何意义与平面向量垂直的充要条件进行转化从而进行判断。
解法7 如图，作BC边的中点D,连接AD，则由向量加法的几何意义c－b=2AD，又由条件得(c－b)•a=0，即AD•a=0，所以ADBC，所以AB=AC，同理BC=AC，所以AB=BC=AC,
所以ABC是正三角形．
点拨
(1) 一般地，对形如a+b+c=0的条件的转化有两种：一是代入减元，如解法1和解法2；二是可以通过直接平方或移项平方，如解法3。
(2) 三角形中的向量数量积的计算要注意与三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等结合使用，同时要注意向量的夹角与三角形的内角之间的关系，如解法4、解法5、解法6。
(3) 在涉及向量模长的计算时要善于使用向量数量积的性质a2=|a|2实现实数运算（向量的模)与向量数量积运算之间的转化。
(4) 在某些特殊的条件下还可以通过运用向量加减法和数乘的几何意义来构造图形求解，如解法7。
拓展延伸
3. ［苏教版必修5 P86习题2.5第14题(探究与拓展)］已知向量OA,OB,OC满足条件OA+OB+OC=0,且|OA|=|OB|=|OC|=1,求证ABC是正三角形.
证明 由OA+OB+OC=0移项平方得2OA•OB=－1，进一步得∠AOB=120°，再由余弦定理可得AB=3，同理可求得AC=3,BC=3，所以ABC是正三角形.
4. 已知P是ABC内一点，且满足PA+2PB+3PC=0，则SPBC∶SPAC∶SPAB为 .
解 联想到三角形重心的向量等式，如图，延长PB至B′使PB′=2PB，延长PC至C′使PC′=3PC，由PA+2PB+3PC=0，得PA+PB′+PC′=0，则点P是AB′C′的重心，设SPBC=1，由三角形面积公式得，SPBCSPB′C′=16,所以SPB′C′=6，所以SPAC′=SPAB′=6.易求得SPAC=2，SPAB=3,故SPBC∶SPAC∶SPAB=1∶2∶3.
点拨 由题3和题4我们发现已知向量等式的系数比和三角形面积比有如下关系：PBC,PAC,PAB分别是向量PA,PB,PC所对三角形，且这三个三角形的面积之比等于向量等式中这三个向量的系数之比。由特殊到一般可归纳出如下结论：已知P是ABC内一点，且满足aPA+bPB+cPC=0(a>0,b>0,c>0)，则SPBC∶SPAC∶SPAB为a∶b∶c.
牛刀小试
1. (2011•浙江卷.理数.16)设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是 ．
2. 在ABC中,设AB=c,BC=a,CA=b,且
|a|=3,|b|=4,|c|=5，则a•b+b•c+c•a= .
【参考答案】
1. 4x2+y2+xy=1，(2x+y)2－3xy=1，即(2x+y)2－322x+y22≤1,解之得(2x+y)2≤85，即2x+y≤2105.则2x+y的最大值为2105.
2. 由题意有a+b+c=0，两边平方得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0,将|a|=3,|b|=4,|c|=5代入得a•b+b•c+c•a=－25.
（作者：顾道德,江苏省盐城市第一中学）