浅谈高中数学教学中数形结合思想的渗透

摘 要：数形结合思想是一种重要的数学思想，它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，因此在高中数学教学中应有效渗透数形结合思想，提高学生的思维能力和数学素养。本文结合自己的教学实践，阐述在教学过程中是怎样把数形结合思想渗透到教学中，使学生逐步提高数形结合的能力。

关键词： 数学教学 数形结合思想

新课程标准中指出，高中数学课程的目标之一是“使学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用”。数学思想方法有很多，以下我想结合自己的教学实践，以数形结合思想为例，谈谈我在教学中是如何使用教材使学生的数形结合能力逐步得到提高的。

数学是研究空间形式和数量关系的科学，数形结合思想是重要的数学思想之一，它是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析研究对象的代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题得到解决。它的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，在代数与几何的结合上寻找解题思路。它包含两个方面：“以形助数”，即借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系；“以数辅形”，即借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。正如我国著名的数学家华罗庚先生所说“数缺形时少直观，形离数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。

数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；我们在教学时，应充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思想和方法，设计数学思想方法的教学目标，结合教学内容适时渗透、反复强化、及时总结，用数学思想方法武装学生，使学生真正成为数学的主人。对于究竟应如何渗透，我认为没有固定的方法可言，但是我们可以做到积极的挖掘与引导，适当的训练与概括，合理的设计与运用，只要这样长期坚持下去，一定能够使学生较好的掌握数学思想方法，提高解题能力。

另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）、实数与数轴上的点的对应关系；（2）、函数与图象的对应关系；（3）、几何图形的求解；（4）、以几何元素和几何条件为背景建立起来的实际问题；（5）、所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义等等。巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 数形结合的思想方法应用广泛，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。数形结合能培养和发展学生的空间观念和数感，进行形象思维与抽象思维的交叉运用，使多种思维互相促进，和谐发展的主要形式，数形结合教学又有助于培养学生灵活运用知识的能力。

从教学的主体―学生来说，一方面数形结合能培养学生的观察能力、理解能力、记忆能力、逻辑能力，以及提高学生思维的广阔性、灵活性深、刻性。另一方面数形结合也为培养具有创新精神和实践能力，能够适应社会发展需要的高素质人才的时代教育任务奠定了基础。因此数形结合思想的在高中数学教学中的渗透变得尤为重要。本文将结合高中数学知识中的具体例题浅述自己的一些看法和体会。

1、 数中构形，直观表象

数中构形就是把问题的数量信息，由图形特征的启示抓住问题的本质，进而解决问题，也就是以形辅数。下面从五个方面探讨以形辅数思想在高中数学中的典型应用。以形辅数即几何学的概念和术语进入了代数学，它不仅使许多代数课题具有了直观性，还使得几何学的思想方法向代数学进行了移植和渗透，开拓了代数学的新研究领域，有利于培养学生快捷直接的形象思维，激发应变机智。

1.1 数形结合在集合中的应用。

对于集合各种运算概念的理解，要能够借助简单的韦恩图表示两集合间的关系，认清集合的特征，准确地转化为图形关系，借助图形使问题直观，具体，准确地得到解决，因此要重视数形结合思想的应用。

在进行人教A版必修1第一章集合的教学时，由于学生刚接触集合这一概念，对集合之间的关系的理解感到困难，因此在教学过程中我做了如下处理。

我先向学生介绍了集合的另一种表示方法维恩（Venn）图，即用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，然后让学生讨论两条封闭曲线能有多少种不同的位置关系，并让他们画出来。经过讨论，学生画出了四种不同的位置关系（如图）

接下来我让他们观察这四种关系的异同点，并引导他们用集合语言加以描述，发现（1）没有公共的部分，即集合

没有共同的元素；（2）有公共的部分，即集合 有共同的元素，但有些元素不在另一集合中；（3）完全在B的内部，（4）A与B重合，即集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们把集合A叫做集合B的子集（ ）。再深入分析，发现（3）中集合B有的元素不属于集合A，而（4）中集合

的元素完全一样，因此再把子集分为两类：真子集即集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A；集合相等即集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素。通过维恩（Venn）图的直观表示，学生很快理解了“子集”、“真子集”、“集合相等”这些抽象的概念，体会了数形结合的思想。

在讲集合的运算这一节时，我先让学生试着从字面上理解“交”、“并”、“补”的含义，然后让他们利用维恩（Venn）图，从直观上感受“交”、“并”、“补”的意义，最后再以集合语言加以阐述，让学生从各个不同的角度体会集合的“交”、“并”、“补”运算，再次渗透数形结合的思想。

为了考察学生能否运用数形结合思想解决集合的有关问题，在本章的最后我出了一道这样的练习题，“某班有50名学生，先有32人参加电脑绘画比赛，后有24人参加电脑排版比赛，如果有3名学生这两项比赛都没参加，求这个班有多少同学同时参加了两项比赛？”从答题的结果来看，大部分学生都能运用维恩（Venn）图，以形助数，求出正确答案，对数形结合这一数学思想有个初步体会。

1.2 数形结合在函数方面的应用。

函数是高中数学知识的主要且重要内容，正是函数所处于的地位和作用，数形结合思想在函数中的应用变得尤为重要。利用一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，三角函数等基本函数的图像解决代数问题。培养学生的观察能力，能够将某些代数式的形式与几何中的距离等联系在一起，发现某些函数具有的特征，从而更进一步能够构造几何模型解决问题，提高学生思维的深刻性，目的性和创造性。

例：已知函数

（1） 试求b，c所满足的关系式；

（2） 若b=0，方程 有唯一解，求a的取值范围；

（3） 若b=1，集合 ，试求集合A.

【解析】（1）由 ，得

b、c所满足的关系式为 .

（2）由 ， ，可得 .

方程 ，即 ，可化为 ，

令 ，则由题意可得， 在 上有唯一解，

令 ，由，可得 ，

当 时，由 ，可知 是增函数；

当 时，由 ，可知 是减函数。故当 时， 取极大值.

由函数 的图象可知，当 或 时，方程有且仅有一个正实数解.

故所求的取值范围是 或 .

（3）由 ， ，可得 .由

且 且

当 时， ；当 时，；

当 时（ ）， ；当 时，且 ；

当 时， ∪.

评注：函数是贯穿高中数学知识的主要内容，它的地位和作用非常重要，数形结合思想在解决函数问题时尤为重要。函数的图像是表示函数关系的方式之一，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律，形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。利用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数的图像来解决代数问题，有利于培养学生的转化联想能力、观察能力，如利用某些函数表达式所具有的特征，与几何中的距离、直线的斜率、线段

的长度（两点间的距离）等联系在一起，构造几何模型解决问题，培养学生思维的深刻性并提高创造性。

1.3 数形结合在解三角题中的应用

华罗庚曾指出“三角与解析几何有极多的数形结合处”。而许多同学在三角的学习中，经常按已有的经验和思维方式去思考问题。我们要不单会利用三角知识去解三角形，更重要的是善于从多方面加以分析，找出几何模型，进而解决问题。对学生思维广阔性，灵活性，深刻性的培养起到很大的作用。

例：已知acosα+bsinα=c， acosβ+bsinβ=c（ab≠0，αβ≠kπ， k∈Z）求证：

.

证明：在平面直角坐标系中，点A（cosα，sinα）与点B（cosβ，sinβ）是直线l：ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图。

从而：|AB|2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2

=2-2cos（α-β）

又单位圆的圆心到直线l的距离

由平面几何知识知|OA|2-（ |AB|）2=d2即

.

评注：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题。

1.4 数形结合的思想在不等式的证明与求解中的应用

在不等式的证明与求解问题中，我们往往采取用代数方法解决的思路，事实上，利用数形结合的思想，依据我们的直观感觉构造几何模型，使得解题过程大大简化，有利于培养学生思维的广阔性和灵活性。

【1】.解不等式 >x-1.

分析：令 =y，则y2=-（x-3） （y≥0）， 它表示抛物线的上半支。令 y=x-1表示一条直线.作出图象求解。

解：作出抛物线y2=-（x-3） （y≥0），以及直线y=x-1.

解方程组 得x=2或x=-1（舍去），

由右图可知：当xx-1成立，所以原不等式的解集为{x| x

点拨解疑：一般地，形如

（亦可

其次，由于草图的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应。比如，在同一坐标系画几个函数图像要注意函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”，见【2】【3】，

【2】.判断命题：“当a > 1时，关于x的方程

无实数解。”正确与否。

错解：在同一坐标系中，分别画出函数 （a > 1）及 （a > 1）的图像，如图2-1所示，可见它们没有公共点，所以方程确无实数解，故命题正确。

评析：实际上对不同的实数a， 及 的图像的延伸趋势不同，例如当a = 2时，原方程无实数解；而当a = 时 ，x = 2 便是原方程的解。说明两图像向上延伸时，一定相交，且交点就在直线y = x上。上面的错解就是潦草作图，而画出了个有误差的图形，并且想当然地根据图形而不去注意函数图像的延伸趋势而造成的。

又如：判断命题：“当0

有唯一实数解。”正确与否。

命题错误。因为此时有唯一解和三解的情况。在指数函数 与其反函数 的图像上，不仅在直线 上有一个交点，而且 和 这两点也应在它们图像上，所以应该至少有三个交点。

【3】.较 与 （n 大于1的自然数）的大小

错解：在同一坐标系中分别画出函数y = 及y = 的图像，如图2-2所示，由图可知，两个图像有一个公共点。当x = 2时， = ，当x > 2时有 < 成立，所以，当n = 2时 = ，而且当n 是大于2的自然数时， < ，

评析：事实上，当n = 4时， 与 ，也相等；n = 5时，

> .错解是因为没有充分注意到两图像的递增“速度”！要比较两个图像的递增速度，确实很难由图像直观而得。本题可以先猜想，后用数学归纳法证明。本题的正确答案是 当n = 2，4时 = ， 当n = 3时 ， < ， 当n 是大于4的自然数时， > ， 证明略。

总之，要让学生真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果教师只讲解几个典型习题并把学生讲懂了，就认为学生领会了数形结合这一思想方法，是偏面的。教师要有做好长期渗透的思想，平时要求学生认真上好每一堂课，学好新教材的系统知识，掌握各种函数的图像特点，理解各种几何图形的性质。教师讲题时，要引导学生根据问题的具体情况，多角度的观察和理解问题，揭示问题的本质联系，利用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算，从而来解决问题。教学中要紧紧抓住数形转化的策略，通过多渠道来沟通知识间的联系，激发学生学习兴趣，并及时总结数形结合在解题中运用的规律性，来训练学生的思维能力，提高理解和运用的水平。只有这样，不断提高、深化数形结合运用的能力。

教师要认真研究教材，从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，逐步渗透数形结合的思想，让学生养成数形结合的良好习惯，使它成为分析问题、解决问题的工具，这是我们所有数学教育工作者应该追求的目标。

参考文献：

1、《数学课程标准（实验）》人民教育出版社

2、沈文选：《中学数学思想方法》湖南师范大学出版社

3、蔡上鹤.数学思想和数学方法.中学数学学报.1997年9月

4、王光明，张文贵.中学数学思想方法及其教学.数学教学研究，1997，1

5 、郭立昌.浅谈加强数学思想方法教学的途径.数学通报，1992，6