全国高中数学联合竞赛

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1． 函数f（x）＝在（－∞，2）上的最小值是（）

A． 0 B． 1C． 2 D． 3

解析：选C．

2． 设A＝［－2，4），B＝｛x

x2－ax－4≤0｝，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）

A． ［－1，2） B． ［－1，2］

C． ［0，3］ D． ［0，3）

解析：选D．

3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止． 设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望Eξ为（）

A. B.

C. D.

解析：选B．

4． 若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为（）

A. 764 cm3或586 cm3

B. 764 cm3

C. 586 cm3或564 cm3

D. 586 cm3

解析：设这三个正方体的棱长分别为a，b，c，则有6（a2＋b2＋c2）＝564，a2＋b2＋c2＝94，不妨设1≤a≤b≤c＜10，从而3c2≥a2＋b2＋c2＝94，c2＞31． 故6≤c＜10． c只能取9，8，7，6，依次对c进行讨论得两组解a＝2，

b＝3，

c＝9或a＝3，

b＝6，

c＝7.选A．

5． 方程组x＋y＋z＝0，

xyz＋z＝0，

xy＋yz＋xz＋y＝0的有理数解（x，y，z）的个数为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

解析：以xyz＋z＝0为突破口，取z＝0，z≠0分别进行讨论，共有两组有理数解x＝0，

y＝0，

z＝0或x＝－1，

y＝1，

z＝0.选B．

6． 设ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则的取值范围是（）

A. （0，＋∞）

B. （0，）

C. （，）

D. （，＋∞）

解析：设a，b，c的公比为q，则b＝aq，c＝aq2，而＝＝＝q． a，b，c要构成三角形的三边，必需且只需a＋b＞c且b＋c＞a，即a＋aq＞aq2，aq＋aq2＞a，解得＜q＜． 选C．

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7． 设f（x）＝ax＋b，其中a，b为实数， f1（x）＝f（x）， fn＋1（x）＝f（fn（x）），n＝1，2，3，…，若f7（x）＝128x＋381，则a＋b＝_________.

解析：5．

8． 设f（x）＝cos2x－2a（1＋cosx）的最小值为－，则a＝＿＿＿＿＿＿＿＿．

解析：a＝－2＋．

9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有______种．

解析：用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用∗表示名额． 如

｜∗∗∗∗｜∗…∗｜∗∗｜

表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．

“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“∗”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有C＝253种． 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种． 综上知，共有222种．

10． 设数列｛an｝的前n项和Sn满足：Sn＋an＝，n＝1，2，…，则通项an＝＿＿＿＿＿＿＿．

解析：an＋1＝Sn＋1－Sn＝－an＋1－＋an，即2an＋1＝－＋＋an＝＋an＋，由此得 2an＋1＋

＝an＋，进而得an＝－．

11． 设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）＝2008，且对任意x∈R，满足f（x＋2）－f（x）≤3・2x， f（x＋6）－f（x）≥63・2x，则f（2008）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

解析：由题设条件知f（x＋2）－f（x）＝－（f（x＋4）－f（x＋2））－（f（x＋6）－f（x＋4））＋（f（x＋6）－f（x））≥3・2x，因此有f（x＋2）－ f（x）＝3・2x，故f（2008）＝f（2008）－ f（2006）＋f（2006）－f（2004）＋…＋f（2）－ f（0）＋f（0）＝22008＋2007．

12． 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为4的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是＿＿＿＿＿＿＿＿．

解析：如图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面A1B1C1∥平面ABC，与小球相切于点D，则小球球心O为正四面体P－A1B1C1的中心．

[B][C][O][D][P][A1][C1][B1][P1][A]

图1

由V＝4・V得PD＝4OD＝4r，从而PO＝3r． 记此时小球与面PAB的切点为P1，PP1＝2r．

考虑小球与正四面体的一个面（不妨取为PAB）相切时的情况，易知小球在面PAB上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为P1EF，如图2，则小球与面PAB不能接触到的部分的面积为（图2中阴影部分）

[P][M][E][F][A][B][P1]

图2

SPAB－S＝18． 故小球不能接触到的面积共为72．

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13． 已知函数f（x）＝｜sinx｜的图象与直线y＝kx（k＞0）有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：

＝．

证明： f（x）的图象与直线y＝kx（k＞0）的三个交点如图3所示，且在π，

内相切，其切点为A（α，－sinα），α∈π，

[y＝kx][y＝｜sinx｜][x][y][O][α][π][2π][A]

由于f ′（x）＝－cosx，x∈π，

，所以－cosα＝－，即α＝tanα，此时易证原等式．

14． 解不等式log2（x12＋3x10＋5x8＋3x6＋1）＜1＋log2（x4＋1）．

解析：由1＋log2（x4＋1）＝log2（2x4＋2），且log2y在（0，＋∞）上为增函数，原不等式等价于x12＋3x10＋5x8＋3x6＋1＜2x4＋2． 即＋＞x6＋3x4＋3x2＋1＋2x2＋2＝（x2＋1）3＋2（x2＋1），

＋2

＞（x2＋1）3＋2（x2＋1），令g（t）＝t3＋2t，则不等式为g

＞g（x2＋1），显然g（t）＝t3＋2t在R上为增函数，由此上面不等式等价于＞x2＋1，解得－＜x＜．

15． 如图4，P是抛物线y2＝2x上的动点，点B，C在y轴上，圆（x－1）2＋y2＝1内切于PBC，求PBC面积的最小值．

[y][P][x][B][O][C]

图4

解析：设P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），不妨设b＞c． 直线PB的方程:（y0－b）x－x0y＋x0b＝0． 又圆心（1，0）到PB的距离为1，即＝1，易知x0＞2，化简得（x0－2）b2＋2y0b－x0＝0，同理有（x0－2）. c2＋2y0c－x0＝0．

所以（b－c）2＝＝，所以SPBC＝（b－c）・x0≥8．

当x0＝4，y0＝±2时，SPBC取最小值，最小值为8．