探讨等价转化的思想方法在高中数学解题中的应用オ

数学学科在学生的高中阶段是一门非常重要的学科，学习数学不仅仅是为了分数，数学更能锻炼学生的逻辑思维能力，在以后的生活当中的用处也很广泛.随着教学的不断深化改革，对思想方法的考查在数学教学以及考核的过程中，已经表现得越来越明显.

世界数学大师波利亚强调：“不断地变换你的问题”，“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止.”他认为，解题过程就是“转化”过程.因此，“转化”是解数学题的重要思想方法之一.

使问题通过转化而求得解决，是数学上普遍的做法.从思维结构上看，是首先对一些基本原理、基本法则和典型问题的解法及结论形成深刻的认识，当我们遇到生疏的或繁难的问题时，通过这些问题与基本问题的关系，“化生为熟、化繁为简”解决问题.转化的方式，有时是等价的，即转化前后的命题保真（二者的成立与否互为充要条件），此时必须追加其他步骤.本文主要从等价转化思想的含义、重要性以及用途等方面来进行论述.

一、等价转化的含义以及运用的目的

1.等价转化的含义

著名的数学家，莫斯科大学教授C・A・雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题.”数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程.等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内成为可解决的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.我们要不断培养和训练自觉的转化意识，这将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧，还会让学生在解题的过程中事半功倍，提高学习效率.

2.运用等价转化的目的

（1）小为对问题的局部进行转化.对问题的某个条件或结论作出转化；如式的恒等变形、三角函数值与角终边满足的条件的转化等等.这种转化主要是为了能直接运用一般规律和结论.

（2）中为命题转化.例如根据原命题和逆否命题的等价性进行转化等.这种“不同说法”之间的转化常常可以使那些“理不清”或“说不清”的问题变得容易判断、理解.

（3）大为对问题整体上的转化.诸如代数、三角、几何领域之间的跨跃式转化.近年来的高考对等价转化思想的考查十分重视.而就考生来说，同前三种数学思想相比，这又是理解较薄弱的，譬如将等价转化误解为就是恒等变形，其实恒等变形只是式子的保值不变，而等价转化则是命题的保真不变.

二、等价转化的用途

等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性.在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行.它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形.消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化.可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变.由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型.

1.等价转化在条件方面的作用

在一道数学问题中，假设拥有A、B两个条件，若干B是A的充要条件，那么用B代替A或者A的后续步骤，可以使问题更容易得到解决，这就是等价比在转化条件方面的作用.

例1已知函数f（x）=2（a2-5a+6）x+41是减函数，求实数a的取值范围.

解依据复合函数“同增异减”的单调性质，函数f（x）是减函数，等价于函数g（x）=（a2-5a+6）x+41是减函数；g（x）是减函数， 又等价于a2-5a+6

解得-1

所以， 实数 a的取值范围是{a |-1

条件等价转化在此问题的解答过程中，被运用了两次.即f（x）是减函数g（x）是减函数a2-5a+6

数学题的解答过程就是用已知的条件获悉可知的条件，最后推算出未知的条件.在这个过程中条件等价转化的方法可以被多次使用.

例2已知函数f（x）=log2（x2-ax+1）的定义域是（-∞，+∞），求实数a的取值范围.

解首先，将已知函数f（x）的定义域是（-∞，+∞）转化为对任意的实数x，不等式x2-ax+1>0恒成立；其次，再把不等式x2-ax+1>0恒成立转化为Δ=（-a）2-4

这道题告诉我们，题目中的结论也可能是“条件转化”中的“条件”，而不仅仅是题目中的题设或已知.

2.等价转化在命题方面的作用

如果在一道题目证明命题真假的过程中遇到困难，可以采用等价转化的方法，来证明此命题的等价命题是否正确，通过这种变通的方式，让解题过程变得更加的容易.相对于条件转化来说，命题转化是一种整体的转化，而不仅仅是部分的转化，其本质是探究解决一些问题的总体策略和思路.

例3已知x2+y2=2， 求证：x+y≤2.

解当x+y>2时，有x2+y2=[SX（]1[]2[SX）][（x+y）2+（x-y）2]>[SX（]1[]2[SX）]（22+02）=2，所以，x2+y2≠2.以上表明，若x2+y2=2，则x+y≤2的逆否命题为真命题，所以，原命题成立.

在此问题的解答过程中，所运用的方法就是典型的命题等价转化的思想.将问题从一个较难的命运转化为相对较为简单的命题，再进行论证，降低了解题的难度，提高了学习效率.

例4条件p：|x+1|>2，条件q：1/（3-x）>1，则条件p是条件q的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

如果在解析此题的过程中，不使用命题转化法，直接解答起来会比较棘手，如果使用命题等价转化法，把命题看成是q是p的什么条件，这样问题解决起来会容易得多.

另一方面，在证明的过程中，命题等价转化思想方法应用得最多的是“反证法”.

三、化归中的等价转化

化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式.所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗.说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决.实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想.

如果说条件和命题的等价转化只是一道题目中部分和整体的转化，那么，就是对某一类数学问题的等价转化.当然，化归包含的方法不仅仅只包括等价转化法.其目的是为了总结出一套解析数学题的方法.

例5比较下列各组数的大小

①321与322；②log31.1与log31.11.

对于这两道题目，总体思路是一样的，但在解题过程中使用的方法不一样，第（1）小题要通过指数函数y=ax的单调性来解决，第（2）小题要通过对数函数y=logax的单调性来解决，在这种情况下，可以将它们化归为函数的单调性问题.

例6在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC是以∠A=120°为顶角的等腰三角形，AA1=BC.

（1）求异曲直线AB1与A1C所成角的余弦值；

（2）求直线AB1与平面AA1C1C所成的角的正弦值；

（3）求二面角A1-AC-B的平面角θ的余弦值；

（4）求点C1到平面ACB1的距离.

可以用解析几何的方法，利用相对应的空间直角坐标系来解出这道题目.在这道题目中，可以看出立体几何中最具代表性的四种问题，在解题的过程中，使用解析几何方法的同时，还应该用化归的思想去剖析.可以得出：

（1）第一，在确定两条异曲直线AB与CD所成的角θ的大小有困难时，可以通过求两直线的方向向量的夹角来实现，即cosθ=|cos〈AB[TX]，CD[TX]〉|.

（2）设直线m是平面α的一条斜线，[WTHX]n[WTBX]是平面α的法向量，确定直线m与平面α所成的角θ的大小有困难时，可以通过公式sinθ=|cos〈[WTHX]m，n[WTBX]〉|来完成.

（3）计算二面角的大小，可以借助计算两平面法向量的夹角的大小来实现.

（4）求点P到平面α的距离d有困难时，可以向平面引（找）斜线，如：PA，A∈α，[WTHX]n[WTBX]为平面α的法向量，d=[SX（][WTHX]n[WTBX]・PA[TX][]|[WTHX]n[WTBX]|[SX）]来完成.

此方法虽然计算起来会比较复杂，但是其操作性强，等价转化是此方法的核心思想，运用化归思想解答，比等价思想有效果.

转化有等价转化与非等价转化.等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才能保证转化后的结果仍为原问题的结果.非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口.我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确.在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化.按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟.[JP3]经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力