数形结合思想在高考解题中的应用

摘 要：数形结合思想是高中数学重要的思想方法之一，应用这一思想方法解题，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.通过具体高考题，阐述了数形结合思想方法的具体应用.

关键词：数形结合思想；高考解题；应用

数学以现实世界的数量关系和空间形式作为其研究的对象，“数”与“形”这两个基本概念，是数学的两块基石，华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”数形结合的实质就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过数与形之间的对应和转化来寻找解题思路，使问题化难为易，化繁为简，从而解决问题.

纵观历年来全国各地数学高考试卷，对数形结合思想的考查均有所体现，一方面是通过解析几何或平面向量考查对一些几何问题如何用代数方法来处理；另一方面，一些代数问题则依靠几何图形的构造和分析帮助解决.在数形结合思想方法的使用过程中，由形到数的转化，往往比较明显，由数到形的转化需要转化意识，高考题往往偏重由数到形的转化.在高考解题中，巧妙地运用数形结合思想，不仅直观容易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程，起到了事半功倍的效果.

数与形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题，或将图形信息部分或全部转换成代数信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论.

数形结合思想方法在高中数学解题中有广泛应用，下面以2014年全国各地高考题为例，对数形结合思想在高考解题中的应用作粗略的探讨.

一、应用数形结合思想解决“简单的线性规划”问题

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题.简单的线性规划一直是高考中的热点，通常以选择填空的形式出现在高考中，解决这类题目要利用不等式和直线方程的有关知识展开，重点是运用数形结合思想，将目标函数转化为几何意义，从而得出最优解.

例1.（2014新课标卷Ⅱ）设x，y满足约束条件x+y-7≤0，x-3y+1≤0，3x-y-5≥0，则z=2x-y的最大值为（ ）

A.10 B.8 C.3 D.2

解析：已知不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A（5，2）处取得最大值，故目标函数的最大值为2×5-2=8，故此题选B.

说明：这类题首先根据所给条件，画出可行域，然后将线性目标函数与图形结合，得出最优解.

二、应用数形结合思想解决“解多面体”问题

立体几何中有关线面关系的证明，线面夹角、面面夹角的求解等，这些问题经常以大题的形式出现在高考试卷中.对于一些复杂的几何证明，我们不妨用数形结合思想把几何问题转化为代数问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化.

例2.（2014天津卷）如下图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ADAB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点.

（1）证明：BEDC；

（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（3）若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角F-AB-P的余弦值.

分析：第一小题较为简单，可直接给出证明，而后面两小题难度较大，运用一般方法不易理顺思路.此类问题若结合空间直角坐标系，解题思路就会变得有章可循.

解析：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如下图），可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）.由E为棱PC的中点，得E（1，1，1）.

三、应用数形结合思想解决“根的个数”问题

在解决一些含有字母的方程f（x）=g（x）时，特别是一些含参数的方程问题，若直接对方程化简讨论，很容易忽略一些特殊的情况.此时运用数形结合思想把求方程解的问题看作求两个图像的交点的问题，画出图像则可以很直观的给出作答.

例3.（2014天津卷）已知函数f（x）=x2+3x，x∈R.若方程 f（x）-ax-3=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为____.

解析：显然a>0，当y=-a（x-1）与y=-x2-3x相切时，a=1，此时 f（x）-ax-1=0恰有3个互异的实数根.当直线y=a（x-1）与函数y=x2+3x相切时，a=9，此时f（x）-ax-1=0恰有2个互异的实数根.结合图象可知，09.

4.应用数形结合思想解决最值问题

分析：该题考查对三角函数的变形与计算，将三角函数变形后得到熟悉的函数，结合图像及单调性得到相应结果.该题把数形结合与函数的极值及单调性综合到一起，全面分析得到正确答案，考察学生的综合能力.

总之，数形结合思想方法是数学基础知识的重要组成部分，是数学解题中要求掌握的重点思想方法之一.高考题目千变万化，对于有些问题，若能抓住本质，利用数形结合思想方法，则可直观、快速地求解.想要加深对数形结合思想的理解，只有在解题过程中，大胆尝试，不断思考，勤于总结，才能逐步增强对数形结合思想的感悟，从而提高解题能力.

参考文献：

[1]任天勇.数形结合在中学数学中的应用[J].内将科技，2012（11）：204-209.

[2]刘新楠.数形结合思想在中学数学教学中的应用[D].辽宁：辽宁师范大学，2011.

[3]林清龙.数学美，在欣赏中荡漾：赏析“数形结合思想”在高考中的运用[J].教育论坛，2012（298）：208.

[4]符晓全.例谈以形助数[J].考试周刊：数学教学与研究，2012（17）：62.

基金项目：本文系广西高校科研项目（项目编号：LX2014224）及“基于大系统结构的硕本互促发展机制研究”项目的阶段性研究成果.

作者简介：曹猛，男，在读硕士，广西师范学院，学科教学。

李碧荣，女，副教授，广西师范学院，硕士生导师。

乔雪，女，在读硕士，广西师范学院，学科教学。

通讯作者：李碧荣。