金属橡胶干摩擦阻尼隔振系统理论建模

摘 要：本文简要介绍了金属橡胶的制造过程，对金属橡胶干摩擦阻尼隔振机理进行了详细阐述，并在此基础上结合前人对金属橡胶建立的理论模型研究现状进行了探讨，另外在以金属橡胶中元件接触作用模型为理论基础建立了Solidworks模型，为今后对金属橡胶隔振器的理论分析提供了基础。

关键词：金属橡胶； 隔振机理； Solidworks

国家自然科学基金编号：11JK0855

前言

金属橡胶材料（Metal rubber，MR）的内部是均质的弹性多孔结构。它是由金属丝相互交错而形成的类似橡胶高分子结构的空间网状结构，在受到振动时可以通过金属丝之间的摩擦，从而耗散大量的能量，而起到阻尼作用。自从人们研究出金属橡胶材料这种特有的结构，并将该材料作为航天、航空用飞行器中，解决了这些机器在特殊工作环境下工作时，对材料提出的特殊性能要求。适用于高温、高压、高真空、超低温、腐蚀性介质及剧烈振动等环境下的阻尼减振、过滤、密封等问题。根据不同的用途，有相应的制造工艺。根据金属橡胶制品的广泛的应用于特殊环境中表明，金属橡胶呈现的橡胶所没有的优良特性是符合人类科技发展趋势的，有效的解决了空间环境下普通橡胶的力所不及的问题。由于我国对金属橡胶技术的研究较浅，仍处于起步和专项研究的阶段，还很难满足航空航天领域对金属橡胶的较高要求。因此，本论文对金属橡胶的研究放进航空航天用器件减振的大背景下，以满足实际应用为目的，对金属橡胶减振器的制备和应用提供了理论基础。所以本课题的研究不仅具有重要的理论研究意义，而且具有实际应用价值。

1. 金属橡胶干摩擦阻尼隔振系统的隔振机理

当流体中存在的紊流以及由于剪切作用而产生的粘性力时，当接触面间存在的与运动方向相反的摩擦力时，或者当材料内部的结构所引起内摩擦时，都会产生阻尼。我们根据对这些因素的产生机理的研究我们分别对其建立不同的模型，总结如下：

（1） 粘性阻尼

经前人研究，在对弱阻尼建模时采用的线性阻尼模型可以得到令人比较满意的结果。科学家们应用了变分理论建立了一个通用阻尼模型。但随着研究越来越深入，研究的弱阻尼分类越来越细多，这个通用的阻尼模型已经不能满足我们的需要了，所以需要找到一种方法，来针对那些不同于之前我们所研究的粘性或迟滞模型的力学行为的系统或结构进行建模。

从理论来说，粘性阻尼是各类阻尼中最简单的一种阻尼模型。根据它所呈现的特性说明它是属于线性阻尼，也就是说对该阻尼系统输入任何一种信号，系统的输出信号都可以由描述这种阻尼器的运动方程求解。从数学角度来说，利用该种模型对系统进行运动学特性分析和求解都很容易达成，但实际上这种模型有它的局限性，它与其它类型阻尼机制之间存在着差别。

（2） 库仑阻尼

库仑阻尼也可称为干摩擦阻尼，就与粘性阻尼不同，它与速度的幅值无关。库仑阻尼摩擦力与运动方向相反，且与具有相对运动（或运动趋势）表面之间的正压力成正比。广泛存在于机械、弹簧或轴承中，还可以在桥梁、桁架等组合结构中的铰接阻尼机制建模中使用。

在研究过程中，我们为了降低非线性模型在数学计算中的困难，还根据能量损耗原则引入当量粘性阻尼，所以库仑阻尼模型中的当量粘性阻尼系数Ceq的表达式为：

（1）

式中：

Rogers和Tan的研究表明，运用当量粘性阻尼模型来描述多自由度系统的库仑摩擦力在达到简化计算的目的同时也达到了对准确性的要求，其理论分析结果与实验结果基本一致，但是该模型也不能完全表达实际运动中的各种现象，这种模型就不能准确地描述系统出现粘结的情况时的运动特性。

（3） 速度平方阻尼

单自由度速度平方阻尼系统的运动微分方程为：

（2）

式中：a指速度平方阻尼项的常数；m指系统的质量；k指系统的刚度； sgn（■）指符号函数。

在对该系统进行研究时对其进行线性化假设，为计算出耗散的能量ΔE，利用速度平方阻尼项即可得到：

（3）

式中的符号意义同前。

（4） 材料阻尼

该种阻尼的产生原因是由于材料内部的各种物理机制引起的，它由材料本身决定。对金属来说，这些机制分为以下几种：热弹性；晶格边界粘性；点缺陷松弛；涡流效应和应变引起的排序。在研究这类阻尼时，我们首先需要区分是属于动态迟滞还是静态迟滞。动态迟滞是指粘弹性的或流变学的迟滞，材料的特性取决于线性应力-应变定律。一般用复刚度模型来描述这种迟滞现象。

（5） 几种阻尼模型的比较

在上面介绍的4种阻尼类型中，并不是全部都是按照粘性阻尼模型描述的那样来耗散振动能量。研究表明，在大多数材料和实际结构中能量耗散的规律不受速度、应变率和频率的影响，但不排除有在某些情况下与位移幅值的平方成比例。

在研究含有库仑阻尼和速度平方阻尼的系统时，假设系统受到正弦激励，并且含有非常小的呈现弱非线性的阻尼，这时我们会用当量粘性阻尼来代替，以达到简化的目的。

然而无法应用当量阻尼对瞬态的衰减进行数学描述，因为在研究中发现，在每种阻尼模型中的衰减时间和响应幅值各不相同。速度平方阻尼和位移平方阻尼在整个时间历程中是相同的，不需要区分。干摩擦阻尼在改进振动特性的结构设计中仍然是不可替代的，其变化规律是由摩擦界面决定的，其幅值有可能随着位移幅值而增加，或者随着位移幅值保持为一个常数。干摩擦产生的阻尼受与摩擦表面垂直的法向力影响，我们可以通过优化法向载荷来达到阻尼最大化的目的，来控制系统中阻尼的大小。在工程应用中，我们使用摩擦界面改进模型来使得摩擦阻尼具有良好的应用前景，使得我们对这些复杂的系统非线性特性有更深刻地了解。

对于本文研究的对象金属橡胶材料来说，其内部存在的阻尼特性不同于上述的几种基本的阻尼机理，它属于干摩擦阻尼范畴。它的阻尼性能是由该材料的成型工艺和材料内部的结构同时决定的。在了解金属橡胶材料干摩擦阻尼产生机理的基础上根据其力学特性建立数学模型，为金属橡胶材料的广泛应用奠定了理论基础。

从于金属橡胶干摩擦阻尼隔振系统的整体角度分析，金属橡胶就是该系统中的弹性支撑，它降低了该系统对外界激励起响应的能力。从目前的研究来看，在加载过程中，金属橡胶隔振系统发生的变形不总是能完全恢复的。金属橡胶在载荷作用下的变形实际上是其元件的弹塑性变形和元件间的相对滑动。当外界的激励去除时，元件发生的弹性变形会迅速恢复，但是元件的塑形变形则不会，这时就剩下了原件的残余变形。所以在对金属橡胶干摩擦阻尼隔振系统进行分析时，一般将恢复力分为弹性恢复力和塑形恢复力两部分。

2. 金属橡胶干摩擦阻尼隔振系统模型的发展

金属橡胶干摩擦阻尼元件往往呈现非线性迟滞特性。自人们开始研究干摩擦阻尼这一现象以来，逐渐提出并发展了众多描述迟滞干摩擦特性的数学模型，主要有以下几种：

（1）干摩擦理想模型

Den Hartog[1]根据能量耗散相等原则将干摩擦力用等效粘性阻尼力替代，发展了等效线性化方法，提出了描述滞后非线性的最简单模型――干摩擦理想模型。但是滞后非线性模型过于简单，与实际情况有较大出入，仅在理论研究上具有一定的意义。

（2）双线性模型

Iwan，Caughey等建立了双线性迟滞恢复力模型[2]。迟滞曲线分解为弹性与迟滞两部分。该模型对于系统中出现的干摩擦的情况能较好地描述，并与实验得到的迟滞回线能较好的吻合。该模型不仅形式简单且各项参数都具有物理意义，在计算方面，需要辨识的物理参数较少，计算量较小。但该模型的局限性在于它不仅将刚度简化为线性刚度，同时还将阻尼力视为干摩擦阻尼，这样的简化使得模型对于干摩擦迟滞元件的特性不能全面描述。

胡海岩[3]在非线性减振器的研究过程中改进了双线性模型。在双线性迟滞恢复力模型的基础上，提出了记忆力模型。该模型中恢复力分解为仅与当前变形状态有关的无记忆部分和与整个变形过程有关的记忆部分两部分。模型中对于刚度的处理不再是大幅度的简化，而是考虑了变形过程对恢复力的影响，采用微分形式，把刚度系数由常数变为变量，弥补了双线性模型的不足。该模型虽然仅仅考虑了位移三次非线性因素的影响，却足以描述其力学行为，满足工程应用，该模型的应用范围较广。但是双折线模型各参数的物理意义不明确，无法表达金属橡胶的隔振原理，为隔振器的参数性能设计带来不便。

（3）Masing模型

Masing模型对形成封闭环的稳态迟滞特性进行了很好的假设并论证了该假设。Jayakumar[4]在该模型的基础上进行改进，提出了一类多维的基于平面几何变换算法的Masing模型，将这种模型的应用场合进行了拓展。由于现有的描述金属橡胶干摩擦系统的模型大多是一维迟滞特性的，姜洪源、敖宏瑞[5]等人用Masing建立了金属橡胶干摩擦系统的动力学模型。但是由于Masing模型不是参数化的模型，不能直接用于进行分析计算。

（4）迹法模型（Trace Method）

在平均和等效原理的基础上提出了迹法模型。该模型中恢复力的描述方法不仅形式简单且与振幅和频率有关，使得根据实验数据进行拟合变得较为方便。

龚宪生[7]则在迹法模型的基本形式的基础上提出了各刚度函数的表达式。但是，该模型只能描述滞后恢复力与位移和速度的关系，而不能全面揭示滞后恢复力与各振动参数的关系，当非线性弹簧刚度的阶次较高时，由于参数辩识的复杂性，其应用也受到限制。

3. 金属橡胶Solidworks 模型建立

根据金属橡胶阻尼器的线匝分布情况，将构件划分为n层，层与层之间为串联关系，每一层又包含m个并联的微元，每个微元的性能相同，构件的总体性能通过分析微元的应力应变关系，从而建立仿真模型。截取构件整体中的微小单元作为分析对象，试件的总体力学性能是各单元体力学性能通过串联和并联获得的。模型自由端由有间隙的方块沿 y 向叠加而成，每个方块代表一个线匝。

由于试件实际变形过程中，其内部线匝的相互作用状态和作用数量无法观测，假定最大变形时所有线匝都参与接触滑移，由此确定每组悬臂梁的个数为空载时单元体内所包含的线匝数为：

（5）

式中，D为金属橡胶试件螺旋卷直径；d为金属丝直径；ρ0为相对密度；π2d2 为成形受压面面积。

图1 悬臂梁线匝块模型

依据金属橡胶阻尼器的相对密度和最大有效变形时的相对密度确定线匝块及其间隙的尺寸。每个单元体包含nm个如图1所示的方块模型，设t为 Solidworks 建模时平面模型的厚度，则D（h+y0）t为试件平均每圈线匝所占空间体积，wht为单圈线匝丝线的体积，由于立方体分析单元的边长为D，因此建模时设置t=D，得到与相对密度模型尺寸的关系为：

（6）

（7）

将已知数据 代入到公式（5），得到线圈匝数为11。

由此，利用Solidworks建立其等效模型如图2所示，参数主要为线圈匝数，线匝的边长D，线匝的高度h，线匝的宽度w，线匝间的间隙y以及平面模型的厚度t。该模型能以一定比例放大元件间的相互作用，弥补了实际条件下几乎无法检查和区分法向摩擦和移动阻力的不足，使得原来在实际条件下难以观测的元件间运动便于分析，可以得到那些原本不能在实验中得到的金属橡胶的那些定量、定性的规律。

图2 金属橡胶阻尼器等效模型

4. 结论

金属橡胶材料是极为适合在恶劣环境下取代橡胶的一种新型材料。本文选用金属橡胶中元件接触作用模型，运用Solidworks软件对其进行三维建模，为今后金属橡胶材料的研究分析提供了理论依据，具有实际应用意义。■

参考文献

[1] 切戈达耶夫. 金属橡胶构件的设计 [M]. 李中郢，译. 北京：国防工业出版社， 2000.

[2] 李韶华，杨绍普. 滞后非线性模型的研究进展 [J] .动力学与控制学报，2006，4（l）：8-14.

[3] 胡海岩，李岳锋. 具有记忆特性的非线性减振器参数识别 [J] .振动工程学报，1989，2（2）：17-27.

[4] Jakumar P. Modeling and identification in structural dynamics [J]. Report No.EERL87-01， 1987， Pasadena.

[5] 敖宏瑞. 金属橡胶干摩擦阻尼机理及应用研究 [D] . 哈尔滨：哈尔滨工业大学，2003.

[6]李冬伟，白鸿柏，杨建春等. 金属橡胶动力学建模及参数识别 [J] .振动与冲击，2005，24（6）：57-60.

[7] 姜洪源，敖宏瑞，李瑰贤，董春芳，夏宇宏. 金属橡胶隔振器动力学模型与分析[J].湖南科技大学学报（自然科学版）2004，19（3）：56-62.

作者简介：郭秦卿（1989-），女，汉族，陕西人，硕士在读，研究方向：机械设计及理论。