参数问题的类型及其解法

摘要：结合参数问题的考情纵览、命题趋势、题型方法等加以分析，结合实例剖析参数问题的三类常见题型。

关键词：参数；命题；求值；取值范围；存在性

一、考情纵览

在数学教学中，参数广泛地存在于高中数学的各类问题中，也是近几年来高考重点考查的热点问题之一。结合近几年的高考试卷分析，有关参数问题在高考试卷中所占的分值大约为30～40分左右，占整个试卷的20%～25%。以2010年高考江苏卷为例，有关参数问题的考题涉及：第1题集合中的参数问题、第5题函数性质中的参数问题、第9题直线与圆中的参数问题、第11题分段函数与不等式中的参数问题、第15题平面向量中的参数问题、第20题导数中的参数问题等。

二、命题趋势

参数问题经常与综合性问题形式出现，多方考查各类知识点，是新课标高考中不可缺少的题型之一。通过近几年

的高考试卷，参数问题考查的主要有：

（一）以简单问题形式考查参数的求值问题或取值范围问题，涉及基础知识问题。

（二）以解答题形式考查参数的取值范围问题或存在性问题，涉及综合知识与综合应用等。

（三）以创新问题形式考查与参数有关的交汇问题或实际问题等。

三、题型方法

（一）参数的求值问题。

参数的求值问题经常通过条件的确定与转化，通过建立相应的含参关系式来求解相应的参数值问题，是高考中的

主要题型，一般难度比较小，主要以填空题形式考查基础知识中的有关参数问题。这类问题只要通过掌握各相应基础知识就可以比较好地加以求解与应用。

例1．已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f2（x）－f1（x）≤k（x－a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f（x）=2sinx，x∈[0， ]，试写出f1（x），f2（x）的表达式，并判断f（x）是否为[0， ]上的“k阶收缩函数”，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由。

分析：通过“k阶收缩函数”的创新定义，建立相应的不等式，结合三角函数的单调性，利用导数加以解决有关的参数的求值问题。

解析：由题意可得，f1（x）=0，f2（x）=2sinx，x∈[0， ]，于是f2（x）－f1（x）=2sinx，

若f（x）是为[0， ]上的“k阶收缩函数”，则2sinx≤kx在[0， ]上恒成立，且存在x0∈[0， ]，使得2sinx>（k－1）x成立，

令φ（x）=sinx－x，x∈[0， ]，则φ′（x）=cosx－1

所以φ（x）=sinx－x在[0， ]上单调递减，

则φ（x）≤φ（0），x∈[0， ]，即sinx≤x，于是2sinx≤2x在[0， ]上恒成立；

又存在x0= ，2sinx>x成立；

故存在最小的正整数k=2，使得f（x）是为[0， ]上的“2阶收缩函数”。

点评：创新问题的考查是新课标高考的热点之一，结合多个知识点的交汇，利用不等式问题来确定有关的参数求值问题是亮点之一。参数的求值问题在考试中一般难度不大，以基础知识为主，有时也综合一些创新问题加以考查。

（二）参数的取值范围问题。

参数的取值范围问题往往与不等式问题加以交汇，通过题目条件的转化为求解相应的不等式（组）问题，或直接综合不等式的恒成立、范围等问题加以转化，是高考的热点问题之一。这类问题涉及的知识面广，要求有较高的解题技巧，往往可以通过通过函数的最值、方程根的分布、参数的分离、数形结合等方法来加以求解。

例2．已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax－3），其中a为常数。

（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；

（2）若函数f（x）在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围；

（3）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围。

分析：通过求导，直接利用极值点的条件求解相应的参数a的值；在求导下利用函数在给定区间的单调性，通过分类讨论来确定参数a的取值范围；再利用给定函数最值情况，通过函数与方程的

关系来求解相应的参数a的取值范围。

解析：（1）由于f（x）=ax3－3x2，则f′（x）=3ax2－6x=3x（ax－2），

x=1是函数f（x）的一个极值点，f′（1）=0，即a=2；

（2）①当a=0时，f（x）=－3x2在区间（－1，0）上是增函数，a=0符合题意；

②当a≠0时，f′（x）=3ax（x－ ），令f′（x）=0得x1=0，x2= ，

当a>0时，对任意x∈（－1，0），f′（x）>0，a>0符合题意；

当a0， ≤－1，－2≤a

综上所述，a的取值范围为[－2，+∞）；

（3）由于a>0，g（x）=ax3+（3a－3）x2－6x，x∈[0，2]，

则g′（x）=3ax2+2（3a－3）x－6=3[ax2+2（a－1）x－2]，

令g′（x）=0，即ax2+2（a－1）x－2=0， （*）

显然有=4a2+4>0，

设方程（*）的两个根为x1，x2，由（*）式得x1x2=－

不妨设x1

所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2），

又已知g（x）在x=0处取得最大值，所以g（0）≥g（2），即0≥20a－24，解得a≤ ，所以正数a的取值范围（0， ]。

点评：参数的取值范围问题的确定是求解综合问题中最常见的类型之一，通过知识点的交汇与应用，利用导数知识、不等式性质、函数与方程的关系等，可以通过导数性质、不等式求解、求根前提等建立相应的不等式（组），很好地解决有关参数的取值范围问题。

（三)参数的存在性问题。

参数的存在性问题经常以数列中的项的存在、平面向量中系数的存在、解析几何中系数的存在等众多的形式表现，解答此类问题往往先确定其参数的存在，再根据对应的条件建立相应的关系式后加以求解与分析，最后根据实际情况判断参数的存在性。

例3．已知|a|=1，|b|= ，|a+b|=2，是否存在实数λ，使得（λa－b）（a+2b）．若存在，求出λ的值，若不存在说明理由．

分析：要求解参数的存在性问题，关键是通过判断两个向量相互垂直加以转化，通过其对应的数量积加以分析，要根据条件算出对应的a•b=0，再加以分析．

解析：由于|a|=1，|b|= ，|a+b|=2，

那么（a+b）2=a2+b2+2a•b=1+3+2a•b=4，则a•b=0，

假设存在实数λ，使得（λa－b）（a+2b），

那么（λa－b）•（a+2b）=λa2+（2λ－1）a•b－2b2=λ+0－6=0，解得λ=6，

即存在实数λ=6，使得（λa－b）（a+2b）．

点评：判断向量垂直的问题，常常要利用向量的数量积，把向量问题转化为代数问题来解决．其实，参数的存在性问题常见类型有三种：（1）肯定型，即符合条件的对象必存在；（2）否定型，即具有某种性质的对象不存在；（3）探索型，即是否存在具有某种性质的对象不得而知，通过分析、推理，最终产生结论；参数的存在性问题是一种古老的题型，由于对被测试对象的潜能及创新能力的考查具有独特之处，是各类试题中常见的题型之一。

参数问题的求解往往涉及到集合、函数与方程、不等式、逻辑用语、数列、平面向量、三角函数、解析几何、导数等相关问题，通过参数值的求解、参数范围的确定、参数的存在性判断等相关题型来考查，考查学生基础知识的掌握与应用能力、推理与分析能力、转化与化归能力等，是高考中比较常见的题型之一。