城乡居民收入差距的ARMA模型预测

【摘要】 改革开放以来， 我国城乡居民收入水平均大幅提高， 城乡居民收入差距不断扩大，这引起了社会各界的高度关注。文章运用Box-Jenkins建模方法，根据1978-2007年数据， 建立城乡居民收入差距的ARMA预测模型，结果表明我国城乡居民收入比率在未来三年可能稳定在0.34左右，并出现小幅度回落。

【关键词】Box- Jenkins 建模 ARMA模型 城乡居民收入差距 ADF检验

随着新农村建设的逐步推进和提高农民收入具体政策的实施，城乡居民收入差距是否会伴随经济增长到达Kuznets“倒U”假说的拐点，出现下降趋势。

一、ARMA模型及时间序列数据建模步骤

1、ARMA模型

AR（p）模型也称为自回归模型。它的预测方式是通过过去的观测值和现在的干扰值的线性组合进行预测，自回归模型的数学公式为：yt=c+?准1yt-1+?准2yt-2++?准pyt-p+ut

式中c为常数；p为自回归模型的阶数；?准i（i=1，2，3，，p）为模型的待定系数，ut为均值为0，?滓2方差为的白噪声序列。

MA（q）模型也称为滑动平均模型。它的预测方式是通过过去的干扰值和现在的干扰值的线性组合预测。滑动平均模型的数学公式为：ut=?滋+t+1t-1++qt-q

式中?滋为常数；q为滑动平均模型的阶数；i（i=1，2，3，，q）为模型的待定系数；t为均值为0，?滓2方差为的白噪声序列。

ARMA（p，q）模型即自回归模型和滑动平均模型的组合，数学公式为：yt=c+?准1yt-1+?准2yt-2++?准pyt-p+t+1t-1++qt-q

在确定p和q的条件下，用非线性最小二乘法估计即可得到yt与过去值及误差的预测模型，再用外推法便可预测yt未来的值，这一过程可用Eviews软件来实现。ARMA模型是一种比较成熟的时间序列模型，适于短期预测，但它要求用于预测的时间序列是随机平稳的。

2、博克斯-詹金斯（Box-Jenkins）建模步骤

博克斯-詹金斯（Box-Jenkins）时间序列预测方法的基本思想是：预测一个现象的未来变化时，用该现象的过去行为来预测未来，即通过时间序列的历史数据揭示现象随时间变化的规律，并将这种规律延伸到未来，从而对该现象的未来做出预测。BJ建模思想可简要分为四个步骤：第一，平稳性检验，若序列为非平稳序列则通过差分变换到达平稳条件；第二，通过计算描述序列特征的统计量，如自相关系数和偏相关系数，确定ARMA模型的阶数p和q；第三，估计模型待定参数并检验其显著性；第四，对模型进行诊断分析，以证实所得模型预测值与实际观测值的数据特征相符。

二、数据选取与模型预测

1、数据选取与处理

根据中国统计年鉴，选取城镇居民人均可支配收入和农村居民人均纯收入两个指标来衡量城乡居民收入水平（见表1），以计算两项之比，得到1978- 2007 年城城乡居民收入比序列RURt，1978≤t≥2007。

表1 1978-2007城乡居民收入变动表 单位：（元）

（数据来源：中国统计年鉴2007，2007年国民经济和社会发展统计公报。）

因为Box-Jenkins时序建模方法是基于对平稳时间序列的分析，因此首先检验序列RURt是否满足平稳性要求。而由图1可以看出城乡居民收入差距伴随经济体制改革的深入经历了“先缩小-扩大-再缩小-再扩大”的演变轨迹，即RURt序列变动均存在明显的趋势性，故可初步判断不是平稳时间序列。一般非平稳序列数据可以通过差分的方法使之平稳化，非平稳序列有多种检验方法，其中ADF（Augmented Dickey-Fuller test）检验是比较严格的常用办法，这里运用Eviews软件对序列RURt进行ADF检验，结果如表2所示。

表2 城乡居民收入比ADF检验结果比较

（注：C为常数项。根据表1数据，运用Eviews5.0软件计算得出。）

由表2的检验结果表可以发现RURt序列是一阶单整序列，建模前需要进行一阶差分变换。

2、模型定阶及参数估计

对于ARMA（p，q）模型，可以利用其样本的自相关系数和样本的偏自相关系数的截尾性判定模型的阶数。序列RURt 的自相关图（AC：Autocorrelation）和偏自相关图（PAC：Partial Correlation）如图2。

图2-1 图2-2

图2 城乡收入比的自相关与偏自相关系数

从图2-1可以看到，前三阶自相关系数均超出95%的巴特利特置信水平带，对序列进行单位根检验发现序列在10%的显著水平下仍不平稳（见表2）。对此可采取对序列进行一阶差分，得到相关图2-2。此时自相关系数图在第二阶开始就落入了95%的巴特利特置信水平带，具有一阶截尾特征，同时，对序列进行单位根检验，证明序列己经是平稳的了（见表2）。因此，可对其建立ARMA模型。由图2-2 可以看出，偏自相关系数在k=1后很快地趋近于0， 所以取p=1；自相关系数在k=1 处显著不为0，则取q=1。对ARMA（1，1）模型进行估计得出结果为：

?驻RURt＝-0.3878?驻RURt-1+t+1.2996t-1

（17.9605） （7.4315）

R2=0.5195，R2=0.5010，AIC=-1.7814，SC=-1.6862

3、模型检验和预测

通过直接观察残差序列的自相关分析图（见图3），其自相关系数都落入了随机区间，表明残差序列是独立的，可直接用于预测。2007年城乡居民收入差距预测值为3.31，实际值为3.33，误差近为0.60%， 误差较小，说明模型拟合度较好（见图4）。运用模型对未来3年的收入差距进行预测。

图3 ARMA模型残差自相关与偏自相关系数

图4 预测模型评价

表3 城乡居民收入比未来3年预测结果

（注：依据回归方程，运用Eviews5.0软件得出。）

三、结论

根据模型预测的结果2008年城乡居民收入比小幅升高，将达到3.3424。而根据最新的2008年统计公报，我国城镇居民人均可支配收入为15781元，农村居民人均纯收入为4761元，城乡收入比为3.3146，已经出现了回落，这和未来两年的预测结果走向是一致的。其原因可能是我国十一五规划以后实施的一些列统筹城乡发展和新农村建设的政策，从长期看对促进农村经济发展和提高农村居民收入水平有一定作用。另一方面，未来两年城乡居民收入比仍然处于高位，从我国经济和社会发展的总体水平来看，要继续实行“工业反哺农业，城市支持农村”的方针，全面推进新农村建设的各项工作，只有这样才有可能促使城乡居民收入差距逐步缩小，进入Kuznets假说的下降阶段。

【参考文献】

[1] 高铁梅：计量经济分析方法与建模：Eviews应用及实例[M].清华大学出版社，2006.

[2] 中国统计年鉴[M].中国统计出版社，2007.

[3] 中华人民共和国国家统计局：中华人民共和国2008年国民经济和社会发展统计公报[R].2009.