归纳猜想 探索规律

翻阅2013年全国各地的中考试卷，以“数与式”为背景的探索规律题愈来愈得到中考命题者的青睐. 这类试题一方面能够激发同学们主动思考、积极参与，富有个性地解答问题，另一方面也能够考查同学们在归纳猜想的过程中发现问题、提出问题、分析问题和创造性地解决问题的能力. 本文试举例加以说明，以期对同学们的本轮复习有所帮助.

一、 根据数列，探索规律

例1 （2013・广西玉林）一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，an=（n为不小于2的整数），则a100=（ ）.

A. B. 2 C. -1 D. -2

【解析】先逐次根据an=算出前面的几个数，即可观察到规律. 因为a1=，an=，所以a2==2，a3==-1，a4==，所以每隔3个数，an的数值开始循环. 因为100=3×33+1，所以a100=. 因此，选A.

【点评】本题既是一道探索规律题，也是一道阅读理解题. 需要同学们在应用新定义的基础上确定这列数的前几个数，并从中感受到整个数列的数值变化规律.

例2 （2013・湖北恩施）把奇数列成下表，

根据表中数的排列规律，则上起第8行、左起第6列的数是_______.

【解析】（1） 上起第n行，左起第一列的数为1+4+6+8+…+2n=n2+n-1，则上起第8行，左起第一列的数为71；（2） 上起第n行，左起第m列的数为（n2+n-1）+2n+（2n+2）+…+2（n+m-2）=（n2+n-1）+2（m-1）n+（m-1）（m-2），因此，上起第8行、左起第6列的数为171.

【点评】本题着重考查同学们的数感能力. 能够根据数字的排列顺序，揭示隐含在其中的一般规律，从而培养同学们观察问题、分析问题、解决问题的能力.

二、 根据算式，探索规律

例3 （2013・湖南衡阳）观察下列按顺序排列的等式：a1=1-，a2=-，a3=-，a4=-，…，试猜想第n个等式（n为正整数）an=______.

【解析】观察每个式子的右边是两个分子都是1的分式的差，第一个分数的分母比第二个分数的分母小2. 因此，第n个等式（n为正整数）an=-.

【点评】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.

例4 （2013・山东滨州）观察下列各式的计算过程：

5×5=0×1×100+25，

15×15=1×2×100+25，

25×25=2×3×100+25，

35×35=3×4×100+25，

……

请猜测，第n个算式（n为正整数）应表示为______________.

【解析】左边的两个相同的因数分别看作是5×1，5×3，5×5，…，故第n个是5（2n-1），所以算式表示为5（2n-1）×5（2n-1）=100n（n-1）+25.

【点评】探究数学式子的规律时，需要把所给的式子进行横向和纵向比较，注意观察已知等式对应数值的变化，从中发现数量关系，即找出各部分所具有的特征，从而探究其具有的规律. 不同的观察视角有可能得到不同的等式或代数式.

三、 根据图形，探索规律

例5 （2013・云南西双版纳，有改动）如图，下列图形都由同样大小的十字星图案按一定的规律组成，其中第一个图形有1 个十字星图案，第二个图形有2个十字星图案，第三个图形有5个十字星图案，第四个图形有10个十字星图案，…，则第n个图形有______个十字星图案.

【解析】观察图形，我们可以发现：第一个图形有1 个十字星图案，第二个图形有2个，可以认为是在第一个图形上增加一个，即当n=2时，第二个图形有1+1个十字星图案；第三个图形有5个十字星图案，可以认为是在第一个图形上增加四个，即当n=3时，第三个图形有4+1个十字星图案；第四个图形有10个十字星图案，可以认为是在第一个图形上增加九个，即当n=4时，第四个图形有9+1个十字星图案；…因此，第n个图形是在第一个图形上增加（n-1）2个十字星图案，即第n个图形有（n-1）2+1个十字星图案，所以，本题应该填（n-1）2+1.

【点评】探索图形变化规律时，一般需要抓住图形数量的增减变化特点，进行分析、猜想、归纳、验证后得出结果.

例6 （2013・山东日照）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律. 根据此规律，图形中M与m、n的关系是（ ）.

A. M=mn B. M=n（m+1）

C. M=mn+1 D. M=m（n+1）

【解析】根据各图形中的三个数的变化规律，可以看成是：3=1×（2+1）、15=3×（4+1）、35=5×（6+1），即：左下角的数字加1后所得数值与上边的数字的积恰好是右下角的数字，根据这个关系可得出M与m、n的关系，为M=m（n+1）. 因此，本题选D.

【点评】本题是一道以图形为背景的探索的试题. 解答时，需要仔细观察数字和图形之间的关系，从而找出规律. 本题除上述规律外，还具有m=n-1，因此M还可以分别用含有m或n的代数式表示.

四、根据图表，探索规律

例7 （2013・山东淄博）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是_______.

【解析】根据题意有：-4+a+b=a+b+c，所以c=-4. 又有：a+b-4=b-4+6，所以a=6. 所以原表格可整理为：

从表格中的数字可以看出格子中的整数是按照-4、6、b的顺序循环出现的，结合第三个循环可知b=-2. 所以格子中的整数是按照-4、6、-2的顺序循环出现，因为2013÷3=671，所以第2013个格子中的整数恰好是第671个循环中的最后一个数字，即-2.

【点评】本题以图表为背景，呈现数字的变化规律，将等式的性质和数字规律的探索融为一体，考查了同学们分析问题、解决问题的能力.

（作者单位：江苏省建湖县实验初中教育集团）