依托青岛版数学教材,培养小学生推理能力

推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断出某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：

合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

1 教材编写体现对学生推理能力的培养

1.1 合情推理在教材中的体现。

合情推理是指"合乎情理"的推理。数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向。一般来讲，合情推理包括类比推理、归纳推理和统计推理等。

1.1.1 从个别到一般，在归纳推理中培养学生合情推理能力。

归纳推理是指由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理。比如，《三角形的内角和》的编排体现了教材对学生归纳推理能力的培养。在学生认识了平角之后，教材通过引导学生通过量、拼、折等方法发现锐角三角形的三个角加起来正好是180度，直角三角形的三个角加起来是180度，钝角三角形的三个角加起来也正好是180度。从而发现无论是锐角、直角还是钝角三角形，只要是三角形，它的内角和就都是180度。教材从直角三角形，锐角三角形和钝角三角形内角和分别都是180度这些个别性知识，推出了"一切三角形内角和都是180度"这样的一般性结论，体现了教材对学生归纳推理能力的注重和培养。

1.1.2 从特殊到特殊，在类比推理中培养学生合情推理能力。

类比推理是指由两类对象具有某些类似特性和其中一类对象的某类已知特性，推出另一类对象也具有这些特性的推理。比如，《乘法运算律》的编排体现了编者对学生类比推理能力的培养。在第一单元中学生们已经学过了加法交换律和加法结合律，在本信息窗中，学生通过解决问题发现了两种算法的得数相等，通过举例验证发现"三个数相乘，先把前两个数相乘再乘第三个数，或者先把后两个数相乘再乘第一个数，它们的积不变。"这与前面学过的"三个数相加，先把前两个数相加再加第三个数，或者先把后两个数相加再加第一个数，它们的和不变。"（加法结合律）非常的类似，而且这种规律也是叫结合律。从而推断加法作为一种运算，具有交换律和结合律，那乘法作为加法的一种简便运算，也应该有交换律和结合律。

1.1.3 从举一到反三，在统计推理中培养学生合情推理能力。

五年级上册《条形统计图》后面习题的设计也体现了编者对学生合情推理（统计推理）能力的培养。因为是对驾校五年来培养学员数量变化情况的统计，所以学生在选择了折线统计图表示这些数据后，非常容发现该校2002年～2006年培训学员数量整体是呈上升趋势的。在这样一个认知础上，教材提出了"2007年该驾校可能培训学员多少人？并说明理由"的问题。根据前面的发现，学生自然会想到2007年培训学员的数量应该大于2006年，因为近几年来的学员数都是呈上升趋势的，所以2007年参加培训的学员数肯定要比2006年多。学生能够做出这样的一个推断，他思维中所经历的过程就是根据数据的表征做出推理和解释的过程，也就是统计推理的过程。

1.2 演绎推理在教材中的体现。

演绎推理是指从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。比如，六年级上册《分数的四则运算》中，教材通过算法的多样化，引导学生发现这两种算法其实就是乘法分配律的表现形式。从而引发学生的思考：整数的运算律会不会也适用于分数呢？为了验证这一猜想，教师引导着学生通过举例子等方法来进行进一步证明，例如：等等，从而得出结论"整数运算定律也同样适用于分数"。这些例子的列举，其实就是学生按照已有的整数乘法运算律的规则来列式、计算和证明的，这就是典型的演绎推理。

2 课堂教学中培养学生推理能力的策略

2.1 培养学生合情推理能力的策略。

2.1.1 策略1：以实际问题为线索，在解决问题的过程中培养学生推理能力。

青岛版小学数学教材的编写以密切联系学生生活的素材构成"情境串"引发

一系列问题，形成"问题串"，进而将整个单元的内容串联在一起。使学生在解决一连串现实的有挑战性问题的过程中，学习数学知识。

如：青岛版六年级下册第四单元《快乐足球--比例尺》。

【教学片段】

师：观察这幅情境图，你了解到什么信息？

生：研究战术需要画一个足球场的平面图。

（学生根据自己的想法独立画图，教师巡视。）

师：同学们，我们先来看一看这几位同学们画的。

这一幅画的怎么样，像吗？

生：像。

师：这一幅呢，像不像？

生：像

师：这一幅呢？

生：不像！

师：同样的长方形，为什么有的同学画得像，有的同学画得不像呢？咱们

找这几个同学自己来说一说，他们是怎么画的，好不好。

以上这个教学片段，教师选取了学生喜闻乐见的足球比赛的情境，通过讨论同样的一个足球场，为什么有的同学画出的平面图像，有的画得不像，激发学生对比例尺知识的探索和学习，这是提升学生推理能力的重要基础和前提。

2.1.2 策略2：在猜想-实验--验证中培养学生的推理能力。

①大胆猜想，合理推测：

牛顿曾说过"只有大胆的猜想，才有伟大的发现和发明"。任何一项发明都是从大胆猜想开始的，但大胆猜想不是胡乱猜想，而是要猜测的有理有据。如，五年级上册《平行四边形的面积》。

【教学片段】

教师拿出平行四边形的卡片

师：它的面积怎样计算？你能大胆猜想一下吗？

生1：底×高。

师：这位同学大胆提出了自己的猜想，敢想敢说。老师把你的猜想记下来。还有谁愿意把你的猜想表达出来？

生2：这两条边相乘。

师：你来指一指。大家看，这条边是平行四边形的底，这条边是和这条底边相邻的边，我们就叫它邻边吧。老师也把你的猜想记下来，那就是底×它的邻边。

师：在刚才大家的猜想中，都提到了平行四边形的底、高和它的邻边。为了便于研究，老师给出这几个数据，算算每种猜想的结果是多少？第一种。

生齐答：28cm？。

师：这个呢？

生齐答：35cm？。

师：到底哪种猜想对？

……

在上面的教学中，教师为学生提供了猜想平行四边形面积的几个主要数据，这时的课堂上虽然只出现"平行四边形的面积等于底乘高"和"平行四边形的面积等于底乘邻边"两种不同的想法，但这两种想法学生都能讲清猜想的根据，猜想的有理有据。

②动手操作，验证结论：

学生根据已有的学习或生活经验提出了自己对新问题答案的猜想，那么究竟

学生的猜想是否正确呢，这时老师就需要引领着学生进行验证。

【教学片段】

师：哪个小组愿意介绍一下你们是怎样验证的？

（1）数方格的方法

生：我们小组是数方格数出来的。

师：到前面来数数看，你们是怎样数的？

生边指大屏幕，边数：1、2、3……22。

师：数出22个整格，再怎么数？

生：把不满一格的合起来数。

师：平行四边形有28个1 cm？的小方格，它的面积就是28 cm。验证了这个猜想是正确的。

（2）转化的方法

生：我们小组是把平行四边形沿着这条高剪下来，拼过去变成长方形。我们量了量长方形的长是7厘米，宽是4厘米，这个长方形的面积是28 cm？，所以平行四边形的面积就是28 cm。

师：这个长方形的面积是28 cm？，这个平行四边形的面积就是28 cm？吗？

生齐答：是。

师：为什么？

生：因为剪拼的都是这一块，没有变，所以它们的面积是相等的。

师：我听出来了，大家的意思是整个图形在剪拼过程中没有增加，也没有减少，它们的面积是相等的，长方形的面积是28 cm？，平行四边形的面积也就是28 cm？。这个猜想又一次得到了验证。

从开始猜想平行四边形面积的计算方法，到后来验证平行四边形面积的计算方法，学生们经历着从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过转化等方法归纳出结论的整个过程，很好地培养了孩子们的合情推理能力。

2.1.3 策略3：通过新旧知识的迁移培养学生推理能力。

数学是一门逻辑严谨性和系统性很强的学科，前面的知识是后面知识的基

础，后面的知识是前面知识的延伸。老师要善于把前后知识有机的联系起来，使学生进行知识的顺利迁移，以提高他们的推理能力。如：六上《分数四则混合运算》。

【教学片段】

师：同学们，我们一起来看这个分数四则混合运算的式子，谁来说一说，刚才我们在计算的时候，是先算的什么，又算的什么呀？

生：先算天坛公园的四分之一是多少，再算故宫的占地面积是多少。

师：也就是我们先算了乘法，再算的加法，对吧？

讲到这儿，你有什么想法？

生：我觉得分数四则混合运算的运算顺序应该跟整数四则混合运算的运算顺序相同。

师：回想一下，整数四则混合运算的运算顺序是怎样的？

生：有括号的要先算括号里面的，再算括号外面的；有乘除、有加减，要先算乘除后算加减； 如果是同一级运算，就按照从左往右的顺序依次进行计算。

师： 既然大家都同意分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算相同，那谁来说一说，分数四则混合运算的运算顺序应该是怎样的？

生：……

以上片段的设计，教师充分利用学生已有的整数四则混合运算的知识经验唤醒学生的数学思考，让学生结合具体情境探索，充分观察，对比体验，体会分数四则混合运算的顺序，体验数学知识的内在联系，将新知识纳入知识结构，发展了学生的抽象概括能力和初步的推理能力。

2.2 培养学生演绎推理能力的策略。

2.2.1 策略1：转化思想，培养学生演绎推能力。

转化思想是解决数学问题的一个重要思想。任何一个新知识，总是原有知识发展和转化的结果。比如六年级上册《分数除以整数》。

【教学片段】

通过以上环节的设计我们看到，在遇到新问题时，学生们都有意识的将这种不会的新知识转化为已经学过的旧知识，通知旧知识来解决新知识中的问题。各种方法之间也加以互相验证，结果相同，说明思路正确，非常好的发展了学生的演绎推理能力。

2.2.2 策略2：高效习题，培养学生演绎推理能力。

习题是数学教材的重要组成部分，它能使学生在练习的过程中体验到优化的解题策略，完善学生的知识结构，发展学生的思维和演绎推理能力。比如，六年级下册《正比例和反比例》。

【教学片段】

师：同学们，刚才我们在知道了 和XY=3的情况下，成功判断了X和Y成什么比例关系。还想接受挑战吗？

生：想

师：已知2X=3Y，判断X和Y成什么比例关系？

生：……

师：可以小组讨论一下。

师：哪个小组已经有答案了，来说说你们的想法。

生1：我们组通过表格的方法，先假设X的值分别为1，2，3，4……然后根据关系式2X=3Y，算出对应的Y的值，最后，我们通过列式的方法计算出 （一定），X和Y的商一定就说明X和Y成正比例关系。

生2：我们是根据比例的基本性质，将"2X=3Y"推导成" = （一定）"，从而判断出X和Y成正比例关系。

生3：……

从以上环节可以看出，在解决问题的整个过程中，不管学生选择了哪种方法进行判断，他们都经过了一定的推理的过程，通过观察、实验、猜想、证明等数学活动，来逐一推导，最终得到推理出最后的结果。

总之，演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。真理的发现永远要靠合情推理。但我们不能说这两种推理哪种更重要，而是要去强调两者的结合。因为在解决一个问题时，我们要运用合情推理（也就是生活已有经验）去思考、去解决；也要用演绎推理去理论的、科学的验证。两者相辅相成，缺一不可。推理做为数学的基本思维方式，必须贯穿于数学学习的整个过程当中。