改进的LIP偏微分方程图像去噪方法

摘 要：

针对对数图像处理-全变分(LIP_TV)去噪模型存在的不足，提出一种改进的LIP偏微分方程去噪方法。首先基于LIP数学理论，在LIP梯度算子中，引入四方向导数信息，得到改进的LIP梯度算子以全面客观地度量图像信息，更好地控制扩散过程。然后利用人类视觉系统的结构化特性，用噪声可见度函数构造新的保真项系数，进一步保持了图像的边缘细节并避免了人为估计噪声水平。理论分析和实验结果表明，该改进方法能够更好地去除噪声和保持图像边缘细节特征，在视觉效果和客观评价指标上都明显优于LIP_TV方法。

ス丶词：

图像去噪；对数图像处理；人类视觉系统；噪声可见度函数；扩散系数

ブ型挤掷嗪牛 TP391.41

文献标志码：A

英文标题

Improved PDE image denoising method based on logarithmic image processing

び⑽淖髡呙

GUO Maoyin, TIAN Youxian

び⑽牡刂(

College of Computer Science and Technology, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, China

英文摘要

)

Abstract:

Concerning the defects of Logarithmic Image ProcessingTotal Variation (LIP_TV) denoising model, an improved Partial Differential Equation (PDE) image denoising method based on LIP was proposed. Based on LIP mathematic theory, the new LIP gradient operator was obtained by introducing four directional derivatives in the original one, which can control the diffusion process effectively because it measures image information comprehensively and objectively. The fidelity coefficient was constructed by adopting the noise visibility function based on the structure characteristic of human visual system, which can further preserve the edge details and avoid estimating noise level factitiously. The theoretical analysis and experimental results show that the improved method has superiority in the visual effect and objective quality, which can better remove noise and preserve detailed edge features.

英文关键词

Key words:

image denoising; Logarithmic Image Processing (LIP); human visual system; noise visibility function; diffusion coefficient

0 引言

图像去噪是图像处理和计算机视觉领域的一个基本问题，也是图像后续处理的前提，如何有效地去除噪声，提高图像质量，成为研究的重要内容。

近年来基于偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)的图像去噪方法已引起了国内外学者的广泛关注，如PM模型［1］、全变分(Total Variation, TV)模型［2］、高阶偏微分模型［3-4］、耦合全变分与四阶偏微分方程的混合模型［5］等，这些方法的基本原理都是对图像的平滑区和特征区采用不同的扩散策略，在去除噪声的同时，可以保留图像的边缘细节等特征。但这些传统的偏微分方程去噪方法去噪后的图像往往与人眼直接观察的图像差距较大。文献［6］将对数图像处理(Logarithmic Image Processing, LIP)数学模型［7］与TV模型相结合，提出了一种基于LIP的偏微分方程去噪模型。文献［6］虽然可以获得与人类视觉特性相吻合的图像，但它用于度量图像细节的LIP梯度算子和传统的梯度算子一样，只考虑了图像的水平和垂直方向，没有考虑对角线方向，对图像信息的度量不够全面，从而不能有效控制扩散过程。另外，保真项系数依赖于噪声方差，需要人为估计。

针对以上不足，本文在文献［6］的基础上，首先利用LIP数学理论，结合四方向导数信息［8］，构造一个四方向LIP梯度算子来度量图像信息，对图像的平滑、特征区进行更为全面客观的定位，从而能更好地控制扩散过程；然后利用人类视觉的结构化特性，用噪声可见度函数构造新的保真项系数Е霜ё允视Φ鹘谡则项与保真项的比重，避免了人为估计噪声水平并进一步保持了图像的边缘细节。理论分析和实验结果均表明，该改进方法能够更好地去除噪声和保持图像边缘细节特征。

1 基于LIP的偏微分方程去噪方法

TV模型是图像去噪中比较成功的方法，其实质是将图像去噪问题转化为求解如下偏微分方程问题。

И氮u氮t=－・uu+λ(u0－u)(1)

模型由正则项和保真项组成，正则项根据图像的梯度模有选择地进行扩散平滑，保真项起到保持图像细节的作用，通过保真系数Е霜Ю吹鹘诙者间的平衡。因而图像的去噪质量主要取决于梯度算子和保真项系数。其中，梯度算子Й=(氮氮x,氮氮y)，梯度模计算为：オ

Йu=ux2+uy2=(ui+1,j－ui, j)2+(ui, j+1－ui, j)2(2)

为了对图像的处理过程进行模拟，必须对上述偏微分方程进行离散化。利用前向差分法分别将水平和垂直方向上的梯度算子离散化为：

ux=ui+1,j－ui, juy=ui, j+1－ui, j (3)

式(1)可离散化为：

И氮u氮t=∑p∈W［u(p)－u(i, j)］up+λ(u0－u)(4)

设W为ui, jУ乃母隽谟虻阄恢眉合，如图1所示。

图片

图1 两方向梯度结构

用传统的图像去噪方法去噪后得到的结果图像与实际图像差距很大，其主要原因在于加法“+”和由加法而定义的标量乘法“×”与图像形成法则是不一致的。对于数字图像，两个像素灰度值的离散和可能得出一个超出图像灰度取值范围的值，产生区间越界问题。

文献［6］利用LIP数学模型［7］的封闭性，用该模型中定义的、咴怂惴分别替换像素点(x,y)У乃平、垂直梯度中的普通+、－运算符，得到：

ux=u(i+1,j)u(i, j)

uy=u(i, j+1)u(i, j)お

并根据同构逆映射［9］的定义，推出像素点(x,y)УLIP梯度算子为:

ux=M－Mui+1,jui, juy=M－Mui, j+1ui, j (5)

推导出LIP梯度算子模为：

Йu=ux2+uy2 =

M(1-ui+1, jui, j)2+(1-ui, j+1ui, j)2(6)

用改进的新梯度算子模来代替式(1)中传统的梯度算子模值，得到了LIP_TV 模型，很好地解决了图像去噪迭代过程中的越界问题，从而减小了舍入误差，获得了与人眼视觉特征相吻合的图像。

由于模型中LIP梯度算子只考虑了水平和垂直方向(如图1所示)，没有考虑对角线方向，从而对图像信息的度量不够全面，影响扩散效果；另外，保真项系数依赖于噪声方差，需要人为估计。

┑2期

郭茂银等：改进的LIP偏微分方程图像去噪方法

┆扑慊应用 ┑31卷

2 改进的LIP偏微分方程去噪方法

本文主要是对影响去噪质量的梯度算子和保真项系数进行改进。

2.1 改进的四方向LIP梯度算子

与LIP梯度算子不同，为了充分利用中心像素点的邻域信息，本文在文献［6］的基础上引入两个对角线方向的梯度信息，用水平、垂直和对角线4个方向上的导数来逼近LIP梯度算子，得到改进的4方向LIP梯度算子，如图2所示。

图片

图2

四方向梯度结构

新算子定义为：オ

=(氮氮x,氮氮θ,氮氮y,氮氮φ)お

其中：Е取φ分别为新增的两个对角线方向。x、y、θ、φ4个方向上的导数分别离散化为：

ux=ui+1, j－ui, j

uy=ui, j+1－ui, j

uθ=ui+1, j+1－ui, j

uφ=ui－1, j+1－ui, j (7)

综合文献［6-7］，推出像素点(x,y)Ф杂Φ4方向LIP梯度算子为：

ux= M-Mui+1, jui, j

uy= M-Mui, j+1ui, j

uθ= M-Mui+1, j+1ui, j

uφ = M-Mui-1, j+1ui, j (8)

则新的4方向LIP梯度算子模为：

Йu=ux2+ uθ2+ uy2+ uφ2= M[(1-ui+1 ,j u)2+(1-ui, j+1u)2+(1-ui+1, j+1u)2+(1-ui-1, j+1u)2]1/2(9)

新的梯度算子将对角线方向导数信息引入到了LIP梯度算子中，综合了水平、垂直和对角线4个方向上的梯度信息来量化反映某像素点周围曲面变化情况，可获得更为准确的梯度估计，从而可以更加全面准确地度量图像信息，对图像的平滑区、特征区定位更加准确，使模型能够更好地去除噪声和保持图像特征。

2.2 改进的保真项系数Е霜И

保真项系数Е霜Ф云胶馊ピ牒捅3滞枷裣附谄鹬匾作用，它依赖于噪声水平。 传统的方法［2,4,6］人为地估计噪声水平或对Е霜取同一常数，导致保留了较多的噪声信息。因此，本文根据人类视觉系统的结构化特性，对Е霜Ы行改进。

视觉心理学实验证实，人眼对物体亮度的主观感受强烈地依赖于背景亮度和结构。在平滑区域，亮度差异很容易被察觉，导致更高的噪声可见度；而在图像边缘或场景复杂区域，尽管亮度差异较大，却难以被察觉，因此有更低的噪声可见度。这就是视觉掩蔽效应［10］。

综合文献［10-13］，将噪声可见度函数g(i, j)а∥：

g(i, j)=1M(i, j)・|u|+1(10)

用M(i, j)・|u|Ф攘靠占湎附冢|u|Ъ式(9),局部方差［14］M(i, j)Фㄒ逦：

M(i, j)=1(2P+1)(2Q+1)∑i+Qm=i－P∑j+Qn=j－Q［u(m,n)－mu(i, j)］2(11)

其中：(2P+1)(2Q+1)是关于点(i, j)对称的分析窗口的大小；mu(i, j)为局部均值。オ

mu(i, j)=1(2P+1)(2Q+1)∑i+Pm=i－P∑j+Qn=j－Qu(m, n)(12)

本文根据人类视觉系统的结构化特性，利用噪声可见度函数，设计如下保真项系数：

Е=e－g(i, j)(13)

采用上述Е撕数能有效控制图像在不同区域的保真度。在图像边缘或场景复杂区域，图像梯度幅值u和局部方差M(i, j)较大，相应的噪声可见度g(i, j)较小，则保真项系数λ较大，即赋予大的保真权重，从而有助于保持图像细节；反之，在平滑区域，图像梯度幅值u和局部方差M(i, j)较小，相应的噪声可见度较大，则保真系数λ较小，赋予小的保真权重，从而有助于平滑噪声。因而本文的λЭ梢宰允视Φ鹘谡则项与保真项的比重。

2.3 算法实现

1）初始化图像灰度值ui, jА＊

2）计算式(1)的离散迭代式：

un+1i, j=uni, j +Δ t ∑p∈W［un(p)-un(i, j)］unpε + λ(u0-uni, j)お

其中：Δt为迭代的时间步长；W变为ui, j的8个邻域点位置集合；u为改进的4方向LIP梯度算子模值；λ为改进的保真项系数。为了避免上述方程中分母处的u为零，引入一个很小的正数ε，将梯度模提升为uε=ε2+u2。オ

3）根据式（14）计算出峰值信噪比（Peak SignaltoNoise Ratio， PSNR）。

PSNR=10lg2552×M×N∑i, j(u′i, j－ui, j)2(14)

其中：u′i, j、ui, j分别表示原图像和去噪后的图像灰度值；M、N分别为图像的长和宽。オ

3 实验结果与分析

实验平台为CPU主频2.8@GHz，内存512@MB的PC机，测试程序用C语言编写。图像以标准256级，大小为256×256的Lena灰度图像为例，分别加入不同强度(方差Е要2)的高斯噪声进行仿真。分别采用本文方法与LIP_TV方法对图像进行去噪处理，去噪图像的客观评价标准采用常用的峰值信噪比，实验结果如图3所示，实验结果的PSNRФ员仁据如表1所示。

表格(有表名)

表1 不同方法PSNR对比表

dB

方差Е要2LIP_TV方法本文方法

0.0237.100B3040.302B5

0.0535.542B4038.698B4

0.1033.798B6036.541B1

0.2029.579B2932.192B6

从图3去噪后图像的视觉效果可以看出，本文方法比LIP_TV方法去噪效果更为有效，不但能够较好地抑制噪声，而且能够更好地保留图像原有的边缘细节。从表1的客观评价标准可以明显看出，对于不同噪声强度的噪声，本文去噪后的PSNR总是高于LIP_TV方法很多，因此本文方法的去噪质量优于LIP_TV方法。

图片

图3

Lena图像的实验结果对比图

图片

图4

对应图3处理结果的边缘提取图

为了更好地验证改进方法的保持边缘细节效果，对处理结果进行边缘提取，所采用的边缘提取算子为Canny算子，实验结果如图4所示。从图4的边缘提取图中可以看出，用LIP_TV方法去噪后，图像中有较大细节信息的损失，如帽子的边缘和羽毛。而本文方法能够很好地保留和突出这些边缘细节特征，主要是由于本文通过对梯度算子和保真项系数的改进，使模型能够更好地识别和分辨图像中重要的细节和边缘。

所以不论是从图像的质量还是从保边缘平滑的结果，改进方法比LIP_TV方法都有很大程度的提高。

4 结语

基于偏微分方程的图像去噪方法是近年来研究的热点，而基于LIP的偏微分方程去噪方法还很少有人研究，本文对当前优秀的LIP_TV方法进行改进。该改进方法有如下优点：1)将4方向导数信息引入到LIP梯度算子中，得到了一个新的LIP梯度算子，对图像的信息度量更加客观全面，从而更好地控制扩散过程；2)通过对保真项系数进行改进，进一步保持了图像的边缘细节并避免了人为地估计噪声水平。理论分析和实验结果均表明，改进方法既能充分抑制噪声，又能更好地保持图像边缘细节特征，在视觉效果和客观评价指标上都具有明显优势。

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