让带电粒子在磁场中的“回旋”方法

带电粒子在磁场中的圆周运动历来是高考热点及难点所在，该类习题会不断被变化题型在不同类型中的考试中出现.近年来试题中屡次出现了带电粒子在磁场中经过不同方式又“回旋”至原处的一类问题，现将这些方式简单整理一下，以供参考.

一、带电粒子在不等大磁场中的回旋

例1如图1所示，在x0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1>B2.一个带负电的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？

解析：粒子在整个过程中的速度大小恒为v，交替地在xy平面内B1与B2磁场区域中做匀速圆周运动轨道都是半个圆周.设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q，圆周运动的半径分别为r1和r现分析粒子运动的轨迹.如图2所示，在xy平面内，

粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至y轴上离O点距离为

2r1的A点，接着沿半径为r2的半圆D1运动至O1点，OO1的距离

此后，粒子每经历一次“回旋”（即从y轴出发

沿半径为r1的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方

的y轴），粒子的y坐标就减小d.设粒子经过n次回旋后与y轴交于O1点，

若OO1即nd满足 nd=2r1 ④

则粒子再经过半圆Cn+1就能经过原点，式中n=1，2，3…为回旋次数.

由③④式解得r1r2=nn+1 （

n=1，2，3，…） ⑤

联立①②⑤式可得，B1与B2应满足的条件：

二、带电粒子在两个反向有界磁场中的回旋

例2如图3所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场.左侧匀强电场的场强大小为

E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外.一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程.求：

（1）中间磁场区域的宽度d；

（2）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t.

分析：带电粒子在电场中经过电场加速，进入中间区域磁场，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，又进入右侧磁场区域做圆周运动，根据题意，粒子又回到O点，所以粒子运动的轨迹具有对称性，如图4画出粒子运动轨迹.

解析：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得：

qEL=12mv2，

带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：

Bqv=mv2R.

由以上两式，可得R=1B2mELq.

可见在两磁场区粒子运动半径相同，三段圆弧的圆心组成的三角形O1O2O3是等边三角形，其边长为2R.所以中间磁场区域的宽度为

（2）在电场中 t1=2va

在中间磁场中运动时间t2=2·T6

在右侧磁场中运动时间t3=56T=

则粒子第一次回到O点的所用时间为

例3在某平面上有一半径为R的圆形区域，区域内外均有垂直于该平面的匀强磁场，圆外磁场范围足够大，已知两部分磁场方向相反且磁感应强度都为B，方向如图5所示.现在圆形区域的边界上的A点有一个电量为q、质量为m的带电粒子以沿半径且垂直于磁场方向向圆外的速度经过该圆形边界，已知该粒子只受磁场对它的作用力.若粒子在其与圆心O连线旋转一周时恰好能回到A点，试求粒子运动速度v的可能值.

解析：设粒子运动的半径为r

如图6，O1为粒子运动的第一段圆弧AB的圆心，

O2为粒子运动的第二段圆弧BC的圆心，

根据几何关系可知

tanθ= rR②

而 ∠AOB=∠BOC=2θ.

如果粒子回到A点，则必有2πθ=2π，n取正整数 ③

由①②③可得

v=BqRmtanπn，

考虑到θ为锐角，即

故v=BqRmtanπn （n=3，4，5…）

[BP（]3.利用电场改变粒子在磁场中的运动方向

例4 如图7，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条

狭缝 、 、 和 ，外筒的外半径为 ，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的

匀强磁场，磁感应强度大小为 .在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向

外的电场一质量为 、带电量为 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝 的 点出发，初速为

零.如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点 ，则两电极之间的电压 应

是多少？（不计重力，整个装置在真空中）

【分析】带电粒子从点出发，在两筒之间的电场作用下

加速，沿径向穿过狭缝 而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做

匀速圆周运动.粒子再回到 点的条件是能沿径向穿过狭缝 .

只要穿过了 ，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，

经 重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过 、 ，再回到 点.

【解析】如图8所示，设粒子进入磁场区域的速度大小为 ，

根据动能定理，有

设粒子做匀速圆周运动的半径为 ，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有：

由上面分析可知，要回到点 ，粒子从 到 必经过 圆周，所以半径 必定等于筒的外半径 ，即 .由以上各式解得

4.利用碰撞改变粒子在磁场中的运动方向

例5如图9，在半径为 的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应

强度为 ；一质量为 带电 的粒子以速度 从筒壁 处沿半径方向垂直于

磁场射入筒中；若它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒

子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从 处射出，则 必须满足什么条件？

【分析】粒子从小孔 射入后，由于洛仑兹力的作用，它将做圆周运动，并将与筒壁碰撞，然后以不变速率反弹回来，根据对称性可以看出粒子与筒壁碰撞时其速度方向一定是沿圆筒半径方向的.粒子与筒壁碰撞次数最少是两次，而随 的变大，也可能出现3次、4次、5次…… 次碰撞.

【解析】由于粒子从 处沿半径射入磁场后做匀速圆周运动，要使粒子又从 处沿半径方向射出磁场，设粒子与筒壁的碰撞次数为 （不含返回 处并从 处射出的一次），由图10可知

，

由图知粒子圆周运动的半径 ，

再由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得

联立可求出 .

例6如图11所示，加速电场 板间距离为 ，电压为 ， 板内侧中点处有一静止的电子，质量为 ，电量为 ， 板中点处有一小孔 ，其右侧有一内壁光滑半径为 的金属圆筒，圆筒内有垂直圆筒横截面方向的匀强磁场，磁感应强度为 ，圆筒壁上有一小孔 ，电子与 、 和圆心 在同一直线上， 与圆心 的距离为 ，电子经电场加速后射入圆筒，在圆筒壁上碰撞 次后回到出发点，求电子运动的周期（不计重力，设碰撞过程无动能损失）.

【解析】粒子在电场中加速时，

由运动学公式得 ，

由动能定理得

联立解得

粒子在 间做匀速直线运动，易得

而粒子在磁场中做完整匀速圆周运动的周期

电子在圆筒内经 次碰撞转过的角度为

所以

所以电子运动的周期为

5.利用环形磁场及空腔

例7据有关资料介绍，受控热核聚变反应装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的容器可装，而是由磁场约束带电粒子运动将其束缚在某个区域内，现按下面的简化条件来讨论这个问题，如图12所示，有一个环形区域，其截面内半径为 ，外半径为 ，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，已知磁感应强度 ，被束缚粒子的荷质比为 ，不计带电粒子在运动过程中的相互作用，不计带电粒子的重力.

（1）若中空区域中的带电粒子沿环的半径方向射入磁场，求带电粒子不能

穿越磁场外边界的最大速度 ；

（2）若中空区域中的带电粒子以（1）中的最大速度 沿圆环半径方向射入

磁场，求带电粒子从进入磁场开始到第一次回到该点所需要的时间 .

【解析】设粒子在磁场中做圆周运动的最大半径为 ，则 ，如图所示，

由几何关系得 m

则

故带电粒子进入磁场绕圆 转过 ，又回到中空部分.

粒子的运动轨迹如图13所示，故粒子从 点进入磁场到第一次回到 点时，

粒子在磁场中运动时间为 ，

粒子在中空部分运动时间为 ，

故粒子运动的总时间为 +

综上，带电粒子从某一点出发，可以通过不同的方式再次回旋到该点，从上述讨论可以看出，不管采取何种方式，这些运动往往都具有对称性与周期性的特点，抓住这个特点并由此大致画出运动的轨迹是解决此类问题的关键所在.

安徽省巢湖市第四中学 （238000）