匀强磁场中同源带电粒子临界问题的求法

从同一离子源射出的带电粒子，在有边界的匀强磁场中的运动问题，能考查学生利用物理知识和数学知识解决临界问题的能力，这类问题对学生的能力要求较高。物理中的临界问题一直是学生解题的难点。解决这类问题的关键是要画出解题示意图，但往往由于有界磁场限制了思路而不能准确画出带电粒子的运动轨迹。如果把有界磁场扩大为无界磁场来，采用旋转法和收缩法，从探索中找出临界条件，使问题迎刃而解，下面举例说明。

一、旋转法解决同源异向等速带电粒子在磁场中的临界问题

例1. 如图1所示，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于纸面向里，PQ为该磁场的右侧边界线，磁场中有一点O，O点到PQ的距离为r。现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不同的方向射出，它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带电粒子打在边界PQ上的范围。（粒子的重力不计）

分析：带电粒子的运动受到磁场右侧边界的限制，打在PQ上的范围不易确定。我们可以假设磁场没有边界PQ，不同方向的带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r是相同的，先作出一个半径为r的圆，然后利用旋转法即让这个半径为r的圆绕O旋转一周，作出所有带电粒子运动轨迹的范围，带电粒子能运动到的范围是以O点为圆心，2r为半径的大圆(虚线)，如图2所示。如果有边界线PQ，从图上就可以得到带电粒子打在边界线PQ上的范围。需要注意的是打到边界线上的最上边的点是大圆（虚线）与PQ的交点，打到最下面的点是小圆与PQ的切点。实际上由于带电粒子都带负电，它们在纸面内都是做顺时针方向的匀速圆周运动，边界线右侧没有磁场，粒子穿出PQ线后已飞离磁场，边界右边的轨迹不可能存在，因此打到边界上的范围并不对称。

解：如图3所示， P点在以O1为圆心的圆上，过O点作PQ的垂线OM，在直角三角形OMP中，∠OPM=30°，则粒子能到达边界线最下面的点的轨迹圆是以O2为圆心的圆，该圆正好与边界线PQ相切，N为切点。由图3的几何关系可知MN=r。所以带电粒子打到边界线上的范围应是线段PN的长度，PN=

二、收缩法解决同源同向异速带电粒子在磁场中的临界问题

例2．如图4所示，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为d=1.0×10-2m，A板上有一电子源P，Q点为P点正上方B板上的一点，在纸面内从P点向Q点发射速度在0～3.2×107m/s范围内的电子。若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度B=9.1×10-3T，已知电子的质量m=9.1×10-31kg ，电子的电量q=1.6×10-19C ，不计电子的重力和电子间的相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地，求电子击在A、B两板上的范围。

分析：电子的速度方向相同，速度大小不同。假设电子在无界匀强磁场中运动根据左手定则可以判断：沿PQ方向射出的电子均做顺时针方向的匀速圆周运动，这些圆的圆心位于速度的垂线PC上，速度逐渐变大，半径就逐渐变大，将半径收缩作轨迹，如图5，从而探索出临界条件，我们把这种方法称之为收缩法。不等的圆均相内切于点P，并与PQ相切，它们的圆心都在过P点的水平直线上。设电子运动的最大轨迹半径为rm因 qvB=mv2/rm代入数据得rm=2d在此基础上再加上直线BQ，AP与BQ相当于磁场的两条边界线找出半径分别是d和2d的两个特殊圆，如图6，所求范围即可求得。

解：电子速度大小不同，其运动半径也不同。轨迹半径r

速度更大的电子打到B板上的点在N点的左侧，设速度最大的电子打在图中大圆与B板相交的位置M，这样电子打在B板上的范围是MN段。由图根据几何关系，有

代入数据得

Qm=2.68×10-3m

QN=d=1.0×10-2m

PH=2d=2×10-2m

故电子击中A板P点右侧与P点相距0～2×10-2m的范围，即PH段

击中B板Q点右侧与Q点相距2.68 × 10-3 m～1.0×10-2m的范围，即MN段。

总结

同源异向等速和同源同向异速的带电粒子在磁场中运动涉及临界情况的例子很多，本文只是举出两例供大家了解如何使用旋转法和收缩法。因为临界问题真正的困难是找出临界条件，后面的计算根据几何关系就可以解决。找出临界条件作图是关键，这里的两种方法就是帮助大家解决如何找的问题。需要强调的是找的过程要注意特殊圆的处理，如与边界相交和相切的圆。