大学数学案例教学研究与应用

[摘 要]大学数学其主要包括高等数学、概率论与数理统计和线性代数三门课程。案例教学法模式能很好地把理论学习与实践应用相结合。大学数学应用案例教学有助于培养学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，有助于实现教学相长。实施案例教学中需合理选择案例，遵循可行性原则、针对性原则和趣味性原则。教师的主导作用在于做好课前准备、课中引导、课后总结工作案例教学方法应与多种教学方式相结合。

[关键词]大学数学 案例 案例教学

[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）15-0102-03

一、引言

大学数学是高校理工农类、经管类等专业必修的公共基础课程，其主要包括高等数学、概率论与数理统计和线性代数三门课程。大学数学的理论和方法是高校许多学科各专业后续专业课程学习的基础，有助于学生数学素养的养成及提高运用数学思想和方法解决实际问题的能力。然而，由于大学数学内容丰富、抽象，逻辑推理性较强，一直被许多学生认为是枯燥乏味、比较困难的课程，学生上课兴趣普遍不高、考试通过率低。因此，如何结合课程和专业特点，科学合理地设计教学方式、方法，有效开展教与学的双边活动，提高课堂效率，是广大从事大学数学教学的教师应该关注和研究的问题。

本文结合大学数学理论和方法具有较强应用性的特点，结合教学实践，研究案例教学在大学数学课程教学中的应用问题，以期通过科学设计教学环节、合理运用案例教学，把大学数学抽象的理论知识与实际问题联系起来，培养学生的学习兴趣，使学生不仅乐于学，而且感觉学有所用，从而提高教学效果。

二、案例教学的定义

案例教学法是由美国哈佛法学院前院长克里斯托弗・各伦斯布斯・兰德尔在1870 年提出的一种全新的教学方法，由于该教学模式能很好地把理论学习与实践应用相结合，故自其出现之后，案例教学方法便迅速在世界各地得到了广泛的发展和应用。与此同时，对案例教学的定义也由于各种不同的认知观点和理论基础而存在不同的表述。一般认为，案例教学是围绕教学目标，在教师的指导下，让学生对呈现的典型案例进行讨论分析、归纳总结，从而培养其思维能力的一种新型教学方法。[1]由于案例教学以案例为基本教学材料，将学生引入理论与实践相结合的情境中，使学生在对话、交流和讨论中加深对课程基本理论、概念和方法的理解和掌握，因此，案例教学对于培养学生自主学习能力、创新精神、团队协作精神及提高发现问题、分析问题和解决问题能力等多方面具有重要的意义。

三、大学数学课程应用案例教学的可行性

案例是案例教学中的一个重要的要素，[2]而来源于现实生活中出现的实际情况与具体问题的真实案例更能引起学生的关注和参与，也有助于案例教学活动实现最佳的教学效果。大学数学的三门公共基础课的理论和方法在实际中都具有广泛应用。首先，在高等数学中，对函数各种性态的研究方法和结果可用于解决实际生活、生产活动中诸如求最优值、平面图形面积、变力做功及相对或绝对变化率等相关的问题。其次，由于现实世界中普遍存在着各种不确定性和随机性，故概率论与数理统计的理论与方法在生物、医学、金融以及管理决策等多个领域都有着广泛的应用。法国数学家拉普拉斯就曾说过：生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。另外，随着电子计算机技术的快速发展和普及，线性代数作为一种解决离散变量的线性关系问题的重要的计算和分析工具也已在控制与决策、经济管理等领域得到广泛的应用。因而，大学数学在实际中的广泛应用实例为开展案例教学提供了必要的可行性。

四、实施案例教学中需注意的几个问题

（一）合理选择案例

案例是案例教学的主要内容，在整个课程教学中发挥着至关重要的作用，案例选取的好坏直接影响到案例教学的效果。下面结合作者本人的教学实践，给出大学数学课程案例选择的几个参考原则。

1.可行性原则

可行性是指所选案例要有真实感，同时能让学生用当前所学知识理解和分析案例。案例最好来源来实际的工作或生活问题且难度适当，不切实际或难度太大的案例都会让学生失去讨论和分析的兴趣。例如在讲概率论与数理统计时，可选取如下在日常生活中常见的抽签问题作为案例。

案例1 一场精彩的足球比赛将要举行，5个球迷好不容易才弄到一张球票，由于大家都很想去看球，只好用抽签的方法来决定，试问后面抽签的比先抽签的吃亏吗？

这是一个很简单的案例，学生可先通过直观的认知感觉对结果进行讨论，在教师的引导下，相信多数的学生很快就会发现该问题实质上等价于用乘法公式计算每个人抽中球票的概率。并通过分析计算得到结论：每个人抽中球票的概率是一样的，即抽签不必争先恐后。

2.针对性原则

案例应尽可能根据本专业特点来选择。通过案例教学，让学生认识到数学理论和方法在本专业中的具体应用，明确为何学数学的问题，进而增强学习数学的主动性和积极性。如在讲《线性代数》中相似矩阵及矩阵对角化的知识点时，可考虑如下的两个案例。

案例2 有甲、乙两个地区，假设甲地每年有30%的人迁入乙地，乙地每年有20%的人迁入甲地，设甲地人口60万，乙地人口40万，且两地区总人口保持不变。问5年后甲地及乙地人口分别是多少？ 经过很长时间后，两地人口的分布是否会趋于一个“稳定状态”？

案例3 设某个农业研究所植物园中某植物的基因型为AA，Aa和aa.常染色体遗传的规律是：后代是从每个亲体的基因对中继承一个基因，形成自己的基因对。如果考虑的遗传特征是由两个基因A，a控制的，那末就有三种基因对，记为AA，Aa，aa.研究所计划采用AA型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。另设双亲体结合形成后代的基因型概率如表一所示，问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何？

表一 基因型概率矩阵

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上述两个案例都可以归结为用《线性代数》矩阵对角化的方法结合极限方法求解。[3]但两个案例的应用背景不同，一个是人口问题，另一个则为生物育种问题。故在案例教学中，对于经管类专业可以选取案例2进行讨论分析，而对于农林类和生科类的学生，则选取案例3较为适宜。

3.趣味性原则

兴趣是最好的老师，一个生动、有趣的案例会引起学生极大的兴趣，从而积极主动地参与到案例的讨论和分析中。例如讲授《高等数学》差分方程的内容时，可以选择以下案例。

案例4[4] 设某人目前体重100kg，如果每周吸收20000kcal的热量，则体重维持不变，现欲通过控制饮食和增加运动减肥至75kg.考虑以下的塑身计划问题。

（a）如果在不运动的情况下分两阶段进行塑身。第一阶段：每周减肥1kg，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000kcal）.第二阶段：每周吸收热量保持下限，直至达到减肥目标。则第一阶段每周应吸收多少热量？第一和第二阶段各需多少周？

（b）如果在第二阶段增加运动以加快塑身计划进程，试就表二给的数据安排计划。

（c）给出达到目标后维持体重的方案。

表二 每小时每千克体重消耗的热量（kcal）

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该案例可以通过求解一阶非齐次差分方程得到塑身计划方案。由于减肥问题是日常生活中喜闻乐见的问题，故该案例能吸引学生浓厚的兴趣，在对问题的探究求解过程中也必将加深对所学数学内容的理解和掌握。

（二）发挥好教师的主导作用

案例教学强调以学生为参与的主体，教师为主导，主导服务于主体。虽然教师不再是讲授的主要角色，但发挥好教师的主导作用是案例教学成功的重要保证。这需要求其做好以下几方面的工作。

1.课前准备。首先，任课教师需根据授课内容在课前确定所用案例，教师可以从已有的案例库中选取，也可以安排学生课前分组通过网络、报刊、杂志等渠道搜集他们感兴趣的案例。其次，确定案例后，教师需充分熟悉案例及蕴涵在案例中的理论方法，并对案例教学过程中可能出现的各种情景预先做出估计和分析，并制定相应的应对措施。

2.课中引导。教师作为案例教学的主持人，在积极引导学生发言和讨论的同时，需根据所授内容的难易以及学生的现场反应，把握好节奏和尺度，调动和营造良好的课堂气氛，使学生的主体性得以充分的发挥，实现最佳的教学效果。

3.课后总结。案例教学结束后，教师要及时进行总结。一方面，对学生在案例讨论分析中的表现进行点评，如对学生在分析解决问题中呈现出的创造性思维给予表扬，而对于某些不足之处则加以指正和鼓励。同时，教师应引导学生归纳和整理案例教学中所用到的知识和方法，使知识系统化。另一方面，教师也要根据案例教学的实践情况，对案例选择、教学方法、组织方式等方面进行总结，不断地改进和完善案例教学方法。

（三）案例教学与多种教学方式相结合

如前所述，案例教学在激发学生学习兴趣，实现教学相长等方面具有传统教学方法所不能比拟的优势。但我们也应注意到，案例教学的有效开展无论是对教师还是学生都有较高的要求，学生只有将相关数学理论和方法理解得透彻，才能充分参与案例讨论。而作为主导者的教师，能在案例教学的过程中熟练融合运用启发式、问题式、讨论式等教学方法也是案例教学取得成功的重要因素。另外，案例教学也存在传授知识缺乏系统性及教学复杂、耗时等不足。因而，案例教学应与多种教学方式、方法相结合，才能发挥其最大的作用。

五、结束语

数学是一门理论与实践并重的科学，随着社会的发展进步，数学与其他学科的交叉融合不断得到加强和发展。时代的发展要求学生不但要学会数学的基本理论和方法，更重要的是学会将其灵活运用。案例教学法作为理论联系实际的桥梁，虽然其也存在一定的不足，但通过教学实践表明，在大学数学课程中引入案例教学，对培养学生学习数学的兴趣、提升教学效果、完善数学课程建设及实现学生的素质教育等多方面都有着积极的作用。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 关秋，陈梅.案例教学的理论研究综述[J].教育与职业，2011，（20）：145-146.

[2] 郭德红，纪向荣.案例教学的要素和方法[J].衡水学院学报，2007，9（2）：107-110.

[3] 黎虹.线性代数教学中结合应用问题举例[J].菏泽学院学报，2009，31（2）：127-130.

[4] 王中兴.微积分[M].北京：科学出版社，2012.