追溯规律本源 渗透数学思想

听了很多老师教学苏教版的《一一间隔排列规律》，也听了一些老师教学人教版的《植树问题》，感觉老师们在教学中并没有真正把握住问题的实质。例如，好多老师在教学《一一间隔排列规律》时，把教学重点放在观察教材情景图上，让学生发现“当两端的物体相同时，两端物体的数量比中间物体多1”上，当学生发现了这个规律并用来解决实际问题时，往往会出现规律能找到但不会运用的现象。在教学《植树问题》时，老师基本上都把重点放在对三种情况（一端种一端不种、两端都种、两端都不种）的理解上，一旦离开植树情景，学生就不知其所以然了。

细分起来，两个物体“一一间隔排列”有三种规律，即“两端物体相同”、“两端物体不同”和“围成封闭图形的”，植树问题也是如此。这些规律概括起来都可以抽象成两个基本的数学模型，即“一种物体比另一种物体多1个（少1个）”和“两种物体个数相等”。而构成这两个模型的基本数学思想是“一一对应”，也就是学生所说的“一个对着一个”。从这个意义上说，在《一一间隔排列规律》教学中提出的“两端物体”和“中间物体”的两个概念似乎是不妥的，如果在两种物体相等的情况下，哪个属于两端物体？哪个又属于中间物体呢？所以，“一一间隔排列规律”和“植树问题”看起来比较复杂，但追本溯源，无非就是两种物体的间隔排列规律。用“一一对应”的思想去思考，就可以化繁为简、深入浅出。基于以上的思考，笔者设计了如下的教学流程，并取得了较好的教学效果。

片段一：

（学生观看动画《阿里巴巴和四十大盗》的片段。）

师：话说强盗们发现原来的密码已经泄露，就改了密码，下面我们一起来听一听这个密码。

播放录音1：芝麻、绿豆、芝麻、绿豆、芝麻、绿豆、芝麻、绿豆、芝麻、绿豆。

师：密码中，绿豆和芝麻哪个多？为什么？

生：一样多。因为芝麻和绿豆两个为一组，最后也是一个芝麻和一个绿豆。

师：说得真好！下面再听一个密码。

播放录音2：芝麻、绿豆、芝麻、绿豆、芝麻、绿豆……芝麻、绿豆、芝麻。

师：这个密码中绿豆多还是芝麻多？

生：芝麻多1个，因为前面芝麻和绿豆都是一个对一个，后面只有芝麻了。

生：我认为芝麻比绿豆多1个，中间也要是一个隔着一个的。

师：你说得非常有道理，芝麻和绿豆一定要一个隔一个排列。我们把这样的排列称为“一一间隔排列”（板书）。

这个片段的设计有三个特点：一是精心选取和组织学习材料，用学生喜欢的童话故事引入，让学生在猜密码的游戏中初步发现规律，感悟规律，激起学生学习规律的兴趣；二是两个密码的设置是分层次的，密码1物体的个数比较少，密码2物体个数很多，这样分层推进，有利于学生认识规律的本质；三是采用录音播放，用听觉来感知规律，巧妙地避免了学生用数物体个数的方法发现规律，迫使学生用“一一对应”的方法来解决问题。在这个过程中，充分运用了学生已有的生活和知识经验，通过比较让学生主动发现“一一间隔排列规律”的两种情况。对规律的整体认识一气呵成。

片段二：

师：刚才我们通过“猜密码”发现了“一一间隔排列”的规律，那生活中有没有这样的规律呢？

出示情景图：

生：小兔和蘑菇是一一间隔排列的，一只小兔对着一个蘑菇，到最后是一个蘑菇，所以小兔和蘑菇一样多。

生：篱笆和木桩也是一一间隔排列的，一根木桩和一个篱笆对应，最后多一根木桩。

生：手帕和夹子也是一一间隔排列的，一个夹子对一块手帕，最后多一个夹子。

师：同学们真了不起！不但能发现规律，还能把规律讲清楚。请大家再仔细观察，这几种情况可以概括成几个规律？

生：两个规律。一个是一个物体比另一个多1，一个是相等。

师：真会概括，那你们能用符号把这两个规律画下来吗？

学生画图后交流。

让学生在解决问题的过程中初步抽象出规律，建立起数学模型。学生经历了三个过程：一是运用规律解决比较简单的实际问题；二是在解决问题的过程中逐步抽象出规律的数学模型；三是通过画图进一步明晰模型。这里的画图非常关键，比用抽象的语言来描述规律更直观，有利于照顾到各个层次的学生对规律的理解和掌握。

片段三：

师：同学们刚才把发现的规律用图画出来了。这样发现的规律就更清楚了。现在让我们用这个规律来解决更有挑战性的问题吧。

课件出示：生活情景图。（由五个内容组成：钟声、植树、队列、楼梯和锯木。）

师：我们先来解决钟声问题。刚才钟声响了3下，你发现规律了吗？

生：钟声响1下，停1下，共响了3次，停了2下。

师：对！钟声问题和前面的形式不一样，但规律是一样的。接下来我们看看植树中有没有规律？

生：一棵树后面对一个空档，最后是树，所以树有8棵，空档有7个。

师：假如每个空档都是20米，这条路共长多少米？

生：140米。

师：树还能怎么种？小组里讨论讨论。

生：可以树、空档，最后是空档，这样树和空档一样多。

师：这相当于路的一端种树，一端不种树。

生：还可以空档、树，最后还是空档，这样空档比树多1个。

师：这相当于两端都不种树。刚才讨论了植树中的三种情况，概括一下，有几个规律？

生：还是两个规律。

师：是的，只要真正懂得了规律，我们就可以解决各种形式的问题。

师：假如我们学校有一条100米长的路，每隔10米种1棵树，需要准备多少棵树苗？请把你的想法画一画。

生画图并交流。

师：接下来还有三个问题，请每个同学选一个思考一下，也可以画画图。

“迷时师渡，悟时自渡”。当学生对规律还没有理解和内化时，就要引导他们去发现、去建构；当学生已经比较熟练掌握并内化了规律时，就要尽量放手让他们应用规律去解决各种问题，以达到对规律的更深层次的理解。教学设计中选择的问题有以下几个特点：一是变式性。无论是钟声问题，还是植树问题，都是前面“一一间隔”问题的变式；二是综合性。植树问题的三种情况，需要学生系统地应用两个规律去思考和解决，而不是单纯地用其中的某一个规律；三是学习材料的典型性。

本课的教学有以下两个主要特点：

1.整体把握规律。

“一一间隔排列规律”的两种情况是一个整体。一般的教法都是先让学生发现一种规律，再逐步引导其发现另外一种规律，这样就像盲人摸象。郑毓信教授在《“植树问题”教学之我见》一文中提到：就“植树问题”这一内容的教学而言，事实上涉及了两种不同的数学活动：其一，以“植树问题”为（现实）原型引出普遍性的数学模式，然后再利用这一模式去解决各种新的实际问题，如路灯问题、排队问题、锯树问题、爬楼问题等；其二，对于上面所提到的每一个问题，我们又都可区分出三种不同的情况，就“植树问题”而言，这也就是所谓的“两端都种”、“只种一端”和“两端都不种”。本课的教学思路就是按照郑教授提到的第一种情况，以现实问题引入，抽象出规律的一般数学模型，再去解决各种问题。实践证明，这是可行的。

2.“一一对应”，统领全局。

在教学中，无论是开始“猜密码”还是理解“植树问题”的三种情况，当学生真正会用“一个对着一个”的想法去解决问题时，规律本身已经不那么重要了。学生只要依据基本模式并通过适当的变化就能解决具体问题。事实也是如此，当学生在猜密码的过程中初步感悟到“一一对应”的思想后，就会很顺利地用这个方法来解决森林乐园中的间隔排列问题了，还有后面的“钟声问题”、“植树问题”、“队列问题”和“楼梯问题”等，学生都显得游刃有余。由此可以看到，在数学教学中，数学的思想方法比规律本身更重要。

（作者单位：江苏省张家港市教育局教研室）