复习圆中解题的典型错误简析

多数教师都有这样的体会，在教数学概念、定理时，如果从正面讲，提醒学生注意什么，效果并不一定好，但是如果能针对学生经常出现的错误讲，往往会收到事半功倍的效果。笔者在初中复习中整理了一些典型找错题，让学生讨论，引起了学生兴趣，收到了较好 的效果。下面举出各题的解法，让学生讨论，看看是否正确，如果不正确 则指明错在何处，说明为什么，并给出正确解法。

1.已知AB是O的直径，AC是弦，AB=2，AC= ，在此图中，画出弦AD，使DA=1，并求出∠CAD度数.

解：如图，作弦AO=1，连接BC、OD

AB是直径，∠ACB=90°

在RtABC中，AB=2，AC=

由勾股定理得：BC==

则BC=AC

∠CAB=45°

OA=OD=AB=×2=1 AD=1

OA=OD=AD∠BAD=60°

∠CAD=∠CAB+∠DAB=45°+60°=105°

2.判断正误：

（1）弦等则所对弧等。

（2）圆心角相等的两条弧所对的弦相等。

（3）相等弧所对圆心角相等。

答：（1）√ （2）√ （3）×

3.如图，已知O与O′外切于P，AB、CD分别是两圆的直径，且AB∥CD，求证：AB、CD相交于P

证明：连结OO′AP，则OO′必过点P（两圆外切，连心线必过切点）

AB∥CD

∠1=∠2 ∠A=∠D （两直线平行，内错角相等）

∠3=180°－∠1－∠A ∠4=180°－∠2－∠D

∠3=∠4 A、P、D共线

同理可证：B、P、C共线

AD、BC相交于P

4.已知点A、B，经过点A、B作圆，半径为2cm的圆的个数为 .

答案：2个

5.已知O1和O2内切，且O1的半径为6，两圆的圆心距为3，则O2的半径为

解：O1半径R=6，O2半径r，两圆的圆心距d=3

两圆内切d=R-r，即 3=6－r，

解得：r=3

6.求和两已知同心圆都相切的圆心的轨迹

解：设两同心圆的半径分别为R、r（R>r），圆心为O，又有O1符合条件，即和两同心圆相切，则：

OO1=r+ ==

圆心轨迹是以O为圆，为半径的圆

7.如图，半径为1的圆内接等腰梯形ABCD，其下底AB是圆的直径，试求：周长y与腰长x之间的函数关系式，并写出x的取值范围

解：过点C作CEAB于E，连接AC，则由相似三角形可得：x2=AB?BE=2BE BE=x2

CD=AB-2BE=2-x2

周长y与腰长x之间的函数关系式为：y=-x2+2x+4

由 y=-x2+2x+4>0 得： x2-2x-4

可求得 ：1-

上述各题的解法，乍一看似乎都有道理，实际上都有错误，各题的错误如下：

第1题：考虑因素不周，把以A为端点，长度为1的弦理解成只有一条，而实际上，这样的弦应该有两条，如图，另一条弦应与AC在直径AB的同侧，本题有另一种情况，同样的解法同上，连结OD、BC，∠CAD=∠DAB－∠CAB=60°－45°=15°

正确的解：∠CAD的度数为105°或15°

第2题：对于这三小题同学们乍一看都是正确的，实际上都错解，第（1）（2）两小题均忽视了定理中的前提条件，“在同圆或等圆中”第（3）小题对等的意义领会不透，实际上等弧是能够重合的弧，因而圆心角相等。

第3题，错在证明中对于“∠A=∠D”来说却是无中生有，误将A、P、D看作一条直线上，犯了“理由不充足”的错误，正确的证明法，其关键只要证∠3=∠4，而∠3、∠4分别是OAP、O′DP′的底角，由这两个等腰三角形的顶角相等，（∠1=∠2），于是由三角形内角和等于180°，问题可以得到解决。

第4题：错误原因在于没有弄清楚题意，此题并没给出A、B两点的距离，应分情况讨论，错解只考虑了其中一种情况，即AB4cm时，不能作圆。

正确的解：2个或1个或0个

第5题：本题没有说明哪个圆的半径大，错解只考虑了O1的半径的情况，设O2的半径为R，则O1的半径为r，由d=R－r 得：R=d+r=3+6=9

正解为：3或9

第6题：实际上，圆心的轨迹有两个，原解法忽视了轨迹的完备性，其正确解法是：

当O1和O（R）相内切，和O（r）外切时，这时圆心轨迹是以O为圆心O1O= 为半径的圆。

如果一圆O2和O（R）、O（r）相内切时，O2O=－r=，这时圆心的轨迹是以 为半径的圆，故符合条件的圆的圆心轨迹是以O为圆心，以、为半径的圆。

第7题：错误出在求x的取值范围，因为这个等腰三角形内接在半径为1的圆上的，当D、C上重合于弧AB的中点时，构成一等腰直角三角形，此时腰长x=，而在半径为1的半圆上作出内接等腰梯形，则梯形腰长x必须取如下数值0