简单几何体问题解决思想方法初探

1．转化法

将研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为化归思想．化归思想在具体的运用过程中，一般是将研究对象转化为熟悉的、基本的、简单的研究对象，使之成为容易解决的问题模式．

例1、 如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面三条对角线AB1，BC1，CA1中，AB1BC1，求证：AB1CA1．

证明：侧面BA1底面A1B1C1且交线为A1B1，过C1作C1FA1B1,则C1F面BA1，

连结,则为在面上的射影

AB1BC1，ABBF

同理过C作CEAB,则CE

面BA1，A1E为A1C在面AB1上的射影

BE∥A1F,BE=A1F

A1E∥BF,A1EAB1,

AB1A1C(三垂线定理)

点评：利用正棱柱的性质，构造适合三垂线定理的条件，是本题求解的主要思路．

2．公式法

公式法就是利用规则几何体的面积、体积等公式来直接解决问题，对于不规则的几何体，则先通过其它方法使其成为规则几何体后再利用公式来进行计算．

例2、如图所示，平行六面体底面是边长

为1的正方形，一条长为2的侧棱和底面相

邻两边的夹角都是60°.求：①全面积；②平

行六面体的高；③这条侧棱相对的对角面的

面积．

③BDAO,BDAA1,而AA1∥BB1,BDBB1

四边形BB1D1D为矩形，故

点评：对于几何的体积、表面积、侧面积问题，通常直接用公式求解．

3．方程思想

方程的思想方法是根据问题的数量特征及相互关系设立方程，通过对方程的研究而求得原问题的解得一种思维方法。立体几何中的求某些量的最值问题大都需要用函数思想去处理，而多面体和旋转体的表面积和体积的计算又常常用方程思想来分析。

例3、如图，已知正三棱锥S-ABC,一个正三棱柱的一个底面三顶点在三棱锥的三侧棱上，另一底在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15cm,底面边长为12cm,内接正三棱柱的侧面积为120cm2,①求正三棱柱的高；②求棱柱上底面截棱锥与原棱锥侧面积之比．

解：①设正三棱柱的高为h，底面边长为x，则

又三棱锥的侧面积

②

解①②得 或

故三棱柱的高为10cm或5cm．

②由棱锥的性质得S-A1B1C1和S-ABC的侧面积的比是：

点评：涉及棱锥的截面问题，根据棱锥的性质定理，列方程（组），是解这类问题的基本方法．

4．等积变换法

立体几何中的“等积变换”（或称等积转化）是以面积、体积（尤其是四面体的体积）作为媒介，来沟通有关元素之间的联系，从而使问题得到解决。

例4、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是BB1,CD的中点．

①证明ADD1F;②求AE与D1F所成的角；③证明面AED面A1FD1;④设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积．

解：①A1C是正方体，AD面DC1

又D1F 面DC1，ADD1F

②取AB的中点G,连结A1G，FG

F是CD的中点,GF,CD平行且相等,

又A1D1,AD平行且相等,

GF,A1D1平行且相等,故GFD1A1是

平行四边形，A1G∥D1F

设A1G与AE相交于H点，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以 ,

∠GA1A=∠GAH,得∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成的角为直角．

③由①知，ADD1F，由②知,AED1F又AD∩AE=A,所以D1F面AED,又因为D1F 面D1C，面AED面A1FD1

④连结GE

FG∥A1D1,FG∥面A1ED1

AA1=2

点评：本题的解法是依据已知条件将四面体分割成两个以为底的三棱锥．

本文主要对简单几何体的解题方法进行了探讨，考察了转化法、方程法、公式法、等积变换法、割补法等方法在解决简单几何体的相关问题时的作用，并用实例进行了说明，从中还可以看出，对于不同的的题型一定要采用不同的方法，这样可以达到事半功倍的效果，我们可以根据题目来进行分析，最终达到解题的目的。实践证明，在教学中适时渗透有关的数学思想方法，有助于学生降低学习难度，把握知识本质和内在规律，提高数学素养，发展思维能力。

（作者单位：郑州市电子信息工程学校）