二次方发散思维探究

【摘 要】对于二次方的相关知识进行探究

【关键词】勾股定理；平方和

引言：

对于勾股定理，大家都很熟悉。在国外叫毕达格拉斯定理，在中国古代，又叫商高定理。古今中外，对此研究的数学家及数学爱好者不计其数。特别是勾股定理的表达式非常奇妙，曾经让费马作出猜想，导致以后的数学研究者忙碌了几个世纪，最终在20世纪得以解决。而今，我们就将其简单的形式做一些简单的研究和推理。

对于勾股定理，我想大家并不陌生。也许有人会说，不就是两条直角边的平方和等于斜边的平方和吗？是的，许多人都知道。对于X^2+Y^2=Z^2，有什么稀奇的吗？但对于勾股数同为正整数时的情况，不知道你有没有发现什么，下面我先写一些式子：

3^2+4^2=5^2

5^2+12^2=13^2

7^2+24^2=25^2

9^2+40^2=41^2

11^2+60^2=61^2

13^2+84^2=85^2

15^2+112^2=113^2

17^2+144^2=145^2-

19^2+180^2=181^2

不知你有没有发现其中的规律，也许需要一段时间，但最终你肯定发现了什么。那就先让我来说给你听，看我说的与你想的有没有相同点。从上面的式子中，我们不难看出，在任意一个式子中，总有两个数的差等于1，而对于式子间的数字关系，很容易发现每一个式子的第一个数字总相差2，而且式子间还有如下的联系：

3+4+5=12

5+12+7=24

7+24+9=40

9+40+11=60

11+60+13=84

13+84+15=112

15+112+17=144

17+144+19=180

由此，可以得出，前一式子中的两个勾股数与后一个式子里的最小数的和等于后一个式子里的中间数。

于是，我们可以假设X ，Y ， Z 三个正整数，三者满足X^2+Y^2=Z^2 ，那么X，Y，Z有如下关系：Z-Y=1 ， （X+2）^2+[X+Y+（X+2）]^2=[X+Y+（X+2）+ I]，将方程化简，得：X^2=2Y+1

于是，我们就可得出一个普遍的一元二次方式：X^2+[（X^2-1）/2]^2= {[（X^2-1）/2]+1}^2，又可简之为：X^2+[（X^2-1）/2]^2=[（X^2+1）/2]^2，如果我们设A=（X^2+1）/2，那么，我们会得到另外一个式子：A^2=（A-I）^2+[2（A- 1）+1]，简化之，可得：A^2=（A-1）^2+（2A-1）

在数学猜想中，有这样一道悬而未决的题目，这道题是这样的：“在式子n^2=x^2+y^2+z^2+w^2 （n=1，2，3，4，5即n属于正整数）中至少有一组非负数解。”也许，有人会说，这当然了，当x=y=z=0，w=n时，式子显然成立，可这个显然不是我们要寻找的答案。不然，数学家早就解决了，还算什么难题猜想呢。我们要寻找的当然是一般解，而非特殊解。

下面，我们就试着来探索一下，首先，我们假设：n^2=s^2+t^2 ， s^2=x^2+y^2 ， t^2=z^2+w^2

由上面的推理，我们可以将n^2， s^2， t^2化成：n^2=（n-1）^2+（2n-1） s^2=（n-1）^2 t^2=2n-1

s^2=（s-1）^2+（2s-1） t^2=（t-1）^2+（2t-1） 由此有：s^2=[（n-1）-1]^2+{2[（n-1）-1] +1}，

t^2=[（2n-1）^（1/2）-1]^2+{2[（2n-1）^2（1/2）-1]+ 1}，化之，得：s^2=（n-2）^2+ （2n-3）

t^2=[（2n-1）^（1/2）-1]^2+[2（2n-1）^2（1/2）+1]

综上所述，可得一总式：n^2=（n-2）^2+（2n-3）+ [（2n-1）^（1/2）-1]^2+[2（2n- 1）^2（1/2）+1]，而上面的猜想就可以转化为四个因式为非负整数，即（n-2） ，（2n-3）^2， [（2n-1）^（1/2）-1]，[2（2n-1）^2（1/2）+1]^2四个数为非负整数，那么他们要满足如下几个条件：n-2>=0， 2n-3>=0

2n-1>=0 ， [（2n-1）^（1/2）-1]>=0 ， [2（2n-1）^2（1/2）+1]^2>=0，而且，这四个数要属于非负整数。因为，n 属于正整数，所以当n>=2时，（n-2） 为非负整数.

下面，我们来谈谈二次方的总式。

X^2+Y^2=Z^2，Z-Y=M， X^2=Z^2-Y^2=Z^2-（Z-M）^2=2MZ-M^2= M（2Z-M）， M=S^2，Z=（T^2+M）/2=（T^2+M^2）/2，T，M都属于整数。

那么，不论什么情况下，X、Y、Z都满足X^2+Y^2=Z^2。

当然，你也可以自己研究看看，其实关于它的发现还有很多。曾经华罗庚前辈就对此作了简单的推导，并给出了一般式，不过，我们今天所作的一些推理只是其中比较特殊的一种情况的研究，对于勾股定理乃至二次方的相关知识，在数学领域里还有很多。

结论：对

二次方的相关知识进行推导论证，并对二次方在勾股定理中的整数特殊性作了一定的探究！

参考文献：

[1] 华罗庚《数论》