基于微分博弈理论的广告竞争研究综述

摘 要：在详细地阐述近四十年来微分博弈框架下的广告竞争研究的基础上，介绍了微分博弈理论的基本框架和常见的三种微分博弈模型以及寡头竞争条件下的三种扩展形式，并对这些模型的实证研究进行了回顾。最后，简要地评述了这些研究成果，指出了这一研究领域当前面临的困难和未来可能的研究方向。

关键词：广告竞争；微分博弈；策略

中图分类号：F224.32文献标识码：A文章编号：1001-6260（2008）02-0115-08

一、导论

对广告竞争的研究，实质上是分成三个层次的：（1）广告花费对产品销售的影响；（2）销售额与广告支出之间的反应关系；（3）广告和销售额的动态关系。在最优广告策略的研究中，Sethi（1977）、Feichtinger等（1994）都给出了确定最优动态广告预算的解。然而，大部分的研究集中在单个产品和垄断市场的假设下，尤其忽略了竞争性市场环境下的研究。

因而，在过去的近四十年里，大量的学者将精力放在了微分博弈框架下的广告竞争研究上。用微分博弈方法研究广告竞争的优点，在于其基于博弈论观点的决策过程和连续动态博弈理论的应用。微分博弈的理论基础允许在决策过程中考虑对竞争者决策的预期。微分博弈的动态本质使得广告策略的制定不仅仅要考虑当前的结果，还要考虑广告决策的长远意义。微分博弈分析为广告策略的研究增添了动态和竞争的因素。

在众多的微分博弈模型中，定量、解析、定性以及各种实证研究方法都被运用于包括动态广告竞争在内的情形下。早期的很多研究集中于双寡头广告竞争，而近年来的研究已经涉及到三寡头甚至更一般化的寡头竞争模型。然而从双寡头广告竞争到多寡头广告竞争的扩展却并不容易，因为那些在双寡头条件下行之有效的研究方法在更一般的垄断情形下已不再适用，而发展新的研究方法还面临一定的困难。

本文下面首先介绍其基本模型、主要的模型和模型的扩展，然后对这些模型的实证研究进行比较，最后介绍当前研究面临的挑战，并对此作一个评论。

二、广告竞争与微分博弈模型

1．基本模型框架

假设每个竞争者都有凹的广告反应函数，微分博弈包含状态变量和控制变量。广告竞争中的控制变量是指各个竞争者的广告支出，即Ai,i=1,K，n；而竞争者的销售水平Si（或市场份额Mi），i=1,K,n。则被解释为状态变量，其动态变化受广告控制变量和现有的状态变量水平的影响，另外也可能受时间变量的影响

假定竞争者们不能进行串谋，且每个竞争者都拥有与互动竞争相关的完全信息，因此能很确定地推测到竞争对手的最优策略，得到微分博弈的纳什均衡解。所谓纳什均衡解是指一个策略集，对每个竞争者来说，这一策略是在给定其它竞争者策略下的最优选择。在微分博弈中，纳什均衡解能够通过下面的哈密尔顿函数（Hamilton函数）哈密尔顿函数源于物理中的动力学，应用到微分中是一种用以求极值的函数，其一般表达式为：H(t,x,p)，其中，t是时间变量，函数对P是凸的，但并不一定是线性的。，从方程（2）和（1）中解出：

开环和闭环是可供研究的两种纳什均衡。开环均衡策略只随时间变化，而闭环均衡策略不仅是时间的函数，同时还是状态变量的函数。对于开环策略，式（5）中动态约束右边的累加项将消失。然而，开环策略并非子博弈完美均衡，因为这一策略不必对每个子博弈都构成纳什均衡。如果不依赖初始条件，闭环均衡策略则是子博弈完美均衡（这种不依赖初始条件的闭环策略也被称为“反馈”策略）。尽管在某些特殊情况下，式（5）中的累加项可以忽略，从而很容易研究问题的闭环策略，但一般情况下这些累加项并不会消失，这对闭环策略的确定带来很多困难，因为其中涉及一些偏微分方程，且这些方程在大多数情况下无法解出。但是，当广告模型只涉及一个状态变量时，研究闭环策略时遇到的困难就可能被克服。例如，假定双寡头竞争市场中的市场容量固定，那么将其中一个寡头的市场份额作为状态变量，就可以应用闭环策略分析广告竞争模型。

在现有的文献中，有三种微分博弈模型的应用较多，它们分别是VidaleWolfe模型、Lancaster模型和扩散模型。下面分别介绍这三个模型。

这里，A1、A2是双寡头中两个竞争者的广告水平，M是竞争者1的市场份额。

VidaleWolfe模型和Lanchester模型其实很相似，后者经常被看作是前者在竞争性市场上的一般情况（Little，1979）。如果假设竞争对手的销售额为（N-S），将式（6）除以N并将δ写成一个竞争对手广告的函数，则可以推导出式（7）。公司的销售额（市场份额）的衰减可以视为竞争对手的广告努力引起的。VidaleWolfe模型适合应用于垄断行业，Lanchester模型是其在逻辑上的扩展，用于分析广告竞争。正如Jrgensen（1982）所说，尽管早期的研究涉及很多模型，但主要集中在两个重要的模型上，即VidaleWolfe模型和Lanchester模型。值得注意的是，在最近的研究中，Lanchester模型的应用更多。

4．扩散模型

在市场营销中，比较受欢迎的销售增长模型是扩散模型，由Bass（1969）建立：

・S=(a+bS)(N-S)(8)

扩散模型并不直接反映单个消费者的购买行为，而是反映购买和销售增长的总体效果。模型中有两个重要的参数：一个是外部影响因子，一个为内部影响因子（参数a和b的微观意义的详细说明请参考Chatterjee and Eliashberg，1990）。内部影响因子通常被解释为口碑效应（wordofmouth），因为该模型认为未开发的市场受到已有市场消费者的影响。a和b都可以解释为广告的函数。一方面，广告作为一个重要的外部消息来源会影响扩散过程；另一方面，广告也可以通过引起消费者内部注意来影响扩散过程，如通过增强社会影响力。

5．闭环解和开环解

20世纪90年代以来的研究已经开始尝试在实证背景下，利用微分博弈模型来检验动态广告策略。特别是Chintagunta 和 Vilcassim（1992a）、Erickson（1992）的两项研究，通过将开环广告策略同闭环策略进行比较，来检验哪种策略类型能更好地解释软饮料行业的两个竞争者――可口可乐和百事可乐的广告策略。两项研究都假设以下形式的Lanchester双寡头模型：

其中: M是可口可乐的市场份额。Chintagunta 和 Vilcassim（1992a）估计了式（9）的离散形式，并利用参数估计值模拟开环和闭环广告策略，然后与可口可乐和百事可乐的实际广告量进行对比。Chintagunta 和 Vilcassim（1992a）发现闭环广告策略能更好地拟合实际广告数据。Erickson（1992）估计了联立方程的闭环广告策略，并通过非嵌套替代模型的统计检验比较了闭环策略和开环策略。Erickson（1992）也认为闭环广告策略比开环策略提供了更好的对实际广告策略的解释，并进一步估计了Lanchester模型的一般形式：

作为联立方程系统的部分，方程（10）包含了竞争情形下的两个啤酒公司AnheuserBusch和Miller的闭环广告关系。

尽管这些理论提供了支持闭环广告策略的实证证据，但闭环纳什均衡仍然还是很难处理的。值得注意的是，上面提到的实证研究只有两个竞争者，而且有固定的市场总容量，这些条件将问题限制在只有单一的状态变量，即单个竞争者的市场份额的情形下。要将广告竞争的研究进一步从双寡头扩展到更一般的寡头垄断，或者扩张的双寡头市场中，则需要多个状态变量（各个寡头竞争者的销量或市场份额）。当涉及多个状态变量时，无论从必要条件（1）、（4）和（5），还是从下列使用较频繁的数值函数方法来推导闭环广告策略，都包含对偏微分方程的求解，而这是一项或许可能但十分困难的工作。

因此，广告竞争的微分博弈模型发展到这里遇到了挑战。鉴于目前求解相关的偏微分方程还存在困难，要将微分博弈分析推广到多寡头竞争的研究中，只能发展一些避免推导闭环均衡的方法，如折衷或逼近的方法。下面简述按这一思路得到的三种不同的方法，同时也是在寡头竞争下的模型扩展。

三、寡头竞争下的模型扩展

很多研究动态广告竞争的微分博弈模型都仅限于两个竞争者，即双寡头的情形，因此有必要从双寡头扩展到更一般的n个竞争者的寡头垄断分析。与此同时，由于闭环纳什均衡相对于开环均衡具有一定的优越性，因此尽管在闭环的研究领域内发展广告策略理论可能很困难，但仍是必要的。虽然微分博弈闭环纳什均衡的条件不一定能完全满足，但存在一些方法可以逼近这些条件。下面介绍三种逼近的方法。

1．两阶段决策

其中：gi是竞争者i的边际利润，wi1和wi2是其二次型残值系数，残值的二次型表达式使用的是非线性函数。竞争者目标函数中的残值考虑了当期广告决策带来的未来收益，同时也体现了动态框架下最优化的本质。根据VidaleWolfe模型的离散寡头垄断形式，销售量受到广告的动态影响。

这样，得到了纳什均衡广告水平的闭环形式表达式。通过这一模型对三个最大的方便食品制造商――Kellogg、General Mills和Post之间广告竞争的实证应用，Erickson（1995）认为，每个竞争者的当期销售都具有一定的未来价值。

3．动态推测变化

Erickson（1997）还提出了另一个不同的方法，在微分博弈分析框架下给出必要条件（5）的解释。之所以在主变量动态约束的右边有一个累加项，是因为对于闭环策略，竞争者被认为会对状态变量的变化做出反应。为了避免处理偏微分方程的麻烦，Erickson（1997）建议将反应AkSj视为动态推测变化，如推测关于对状态变量变化的竞争性广告反应。用这种方法推导出的纳什均衡广告策略成为改进的开环策略，但是具有闭环策略的一些特点。在多寡头Lanchester模型的背景下：

以上所述的三种扩展都试图将广告竞争的动态分析引入到多寡头（两个以上）垄断的情形下，且都提出了突破微分博弈开环均衡缺陷且反映闭环均衡某些特点的方法。当然，每种方法都有其优点，也有其缺点。虽然Erickson（1997）的动态推测变化提供的纳什均衡策略含有闭环的观点，但是却遭遇到开环策略的限制。Chintagunta和Vilcassim（1992b）的两阶段方法的有限期限、离散时间的特征和Erickson（1995）的单阶段残值方法摆脱了微分博弈分析框架，但给出的模型同样能合理反映管理者对动态市场条件的反应。很显然，如果没有偏微分方程在数学上的突破，则有必要采取一些折衷的方法来研究寡头垄断广告竞争。

四、实证研究

大量文献采用实证方法来检验微分博弈模型对竞争广告策略的估计准确性以及广告与企业的销售和市场份额的动态关系。

Erickson（1992）选择了Lanchester模型对可口可乐和百事可乐公司、Anheuser Busch和Miller两大啤酒公司进行了双寡头广告竞争的分析。首先，研究发现闭环解的估计更符合实际。有趣的是，两大可乐公司的广告投入与市场份额存在着动态负相关，即当市场份额越大的时候，广告投入越少。然而，两大啤酒公司的情况却不同，分析表明其广告投入并不仅仅取决于市场份额。也就是说，存在着一个市场份额区域，在该区域中当Anheuser Busch的市场份额上升时，两家公司的广告水平同时上升。

Chintagunta（1993）研究分析了两家在美国市场占有率达90%的药品制造企业的广告竞争策略，研究重点放在了对模型的各种参数设置和敏感性分析上。为了分析得更仔细，假设市场的总销售量随时间变化，且竞争者将市场占有率作为必争之地，设置了三个不同水平的参数：（1）折现率；（2）广告弹性；（3）广告衰减指数。分别对这三个参数进行敏感性分析。研究还应用了最大平滑原则，从而用实证数据验证了这一原则的可靠性。

Chintagunta和Jain（1995）则使用了改进的Lanchester模型，并且使用了方程组，把需求描述也包含进模型，对可口可乐和百事可乐、Anheuser Busch和Miller、两家无名的医药公司以及P&G和联合利华进行了实证研究。结果显示闭环均衡解比开环解能够能更好地解释动态广告竞争；同时，模型的估计结果显示竞争广告投入的水平是否单单取决于市场份额是一个模糊的结论。

Nguyen和Shi（2006）将Lanchester模型和扩散模型相结合研究并建立了分析市场规模和市场份额动态变化的模型。模型不仅采用了方程组的形式将需求包含其中，而且还采用了反馈广告战略，实证研究采用了美国两大快速成像企业宝丽莱（Polaroid）和柯达（Kodak）1976―1985年的数据。研究也发现闭环解更好地拟合了实际的广告投入数据；同时，由于考虑了市场容量的变化，发现在不同产品生命周期阶段（即市场规模发生变化），拟合度的大小有所不同，而最接近真实值的是在产品生命周期最初的阶段。在研究期的最后两年里，宝丽莱和柯达的广告竞争策略都是在固定市场规模的模型中有较好的拟合性。这有可能说明，快速成像市场在这一时期达到了饱和。

这些实证研究都是很具有价值的，因为就市场状态对广告决策的影响进行建模，将这些影响作为竞争者之间实证关系的一部分，不仅可以为广告的需求效应研究提供丰富的空间，还可以从供给方面来考察这种影响对竞争性广告所产生的作用。

五、评论和总结

正如Eliashberg 和 Chatterjee（1985）所说，对竞争的研究分析要求对竞争者的数量、相互竞争的本质，以及涉及到的竞争者的信息结构作一些基本的假定。总的来说，目前的很多研究都是建立在博弈分析框架下的。博弈论为研究竞争性广告的互动本质提供了很好的分析框架。早期的研究都假定广告竞争者同时做出决策，并拥有完全信息。或者他们假设每个竞争者都对竞争本质有充分的了解，且了解其他竞争者的利润结构，因此每个竞争者都可以推断出其他竞争者的策略；同时，假定竞争者之间不能合谋，那么可以用博弈论中的非合作竞争和纳什均衡理论来说明各广告竞争者的策略。

后来的很多研究涉及到双寡头，也有涉及三寡头的情况，近年来的研究已经扩展到更多竞争者的情况。但在大多数情况下，要同时分析很多竞争者的决策行为是很困难的，也是不可能的。与此同时，对少数企业之间竞争的研究也很重要，在这种情况下，每个企业的营销活动相互影响，并且都能够被其他企业察觉。尤其是在分析双寡头的情况时，要抓住直接竞争的基本特点，因为每个寡头的情况肯定是不一样的。严格的双寡头假设可能并不现实，但在社会经济中可能有很多情况类似于双寡头，尤其是在广告领域（如可口可乐与百事可乐）。

早期的博弈论在广告竞争方面的应用着重于静态模型。实际上，这种竞争可以看作一个动态模型，因为每个竞争者的广告策略都随时间改变。动态模型更可取是因为它加上了时间这个重要的尺度，同时认识到竞争者的策略并非一成不变。竞争性市场本质上就是动态的，动态模型也反映了这个基本的事实，可以深刻地洞察竞争性广告策略。动态模型在时间上可以是离散的，也可以是连续的。连续型模型是对现实的一个真实反映，但是在应用时并不需要精确地界定数据时间间隔，且可以对广告策略进行瞬时性调整，所以连续型模型应用起来不太方便。在连续模型中，为了从市场数据中估计出模型的参数，可以对时间进行分割，这样一来连续型模型的实证研究就没什么障碍了。广告竞争动态模型中都有一个重要的问题，就是竞争者的广告策略怎样影响销售额和市场份额的变化（即变量的微分过程）。因此，连续竞争模型一般都可视为微分博弈，其中一些关键的动态变量（如销售额和市场份额）都可以假定为给定微分函数对时间的微分。

纳什均衡的概念可以用来研究竞争性广告策略。但是在微分博弈的框架下，求得纳什均衡解并不是一个简单的步骤。在开环策略中，竞争者在博弈开始时就约定好广告支出的时间点，即使博弈参与人被要求在某个中间点重新考虑他们的策略，他们也不会做出改变。但是，如果这个约定不可行，那么开环均衡解还取决于初始状态、状态变量的初始值，因此这个均衡解不是子博弈完美均衡，即开环均衡并不构成在不同时间点开始的子博弈的均衡解。这个逻辑同样也适用于受动态变量的初始值影响的闭环均衡情况。要达到子博弈完美，均衡解必须与初始状态无关，也就是说，与初始状态无关的策略是一个既定的反馈策略。

开环策略的一个重要缺点就是它一经确定就无法改变。开环策略不能根据某些条件, 如当时的市场份额进行修改。但是, 营销经理确定自己的市场定位时, 一般不会忽略市场中的挑战，从而制定自动控制的营销策略。企业和品牌为了保持市场占有率，回应潜在竞争威胁的例子很多。另一方面，闭环均衡策略允许根据市场现状做出调整，比开环均衡更加现实一些。需要指出的是，尽管闭环均衡是在微分博弈的假定下，但是并不能完全反映某些市场动态。比如, 竞争者根据其对手过去的行为来做出反应的能力。

计算闭环解的困难毫无疑问在于博弈论以及偏微分方程的发展迟缓。Case（1979）提出的方法对这一问题的解决具有启发性的意义。Case（1979）认为均衡策略应该是状态变量的静态函数（时间不变），广告随系统状态改变，却不随时间改变。但是静态假设并没有太强的限制，因为广告策略随状态变量而变，而状态变量又是随时间改变的。Case方法的优越之处在于它对系统状态的连续依赖。对于涉及一个状态变量的微分博弈，只需要求解一系列的全微分，而不涉及偏微分函数。因此，这一方法成为分析双寡头市场中广告竞争的基础。

对于更一般的情形，可以考虑使用动态推测变化方法（Erickson，1997）。这一方法可以扩展到包含多个状态变量的相关研究。竞争者对状态变量的变化所采取的边际广告反应被视为各竞争者所做的推测，而动态推测变化策略依赖于竞争者认为其对手如何反应的信念。基于动态推测变化的广告策略可以像开环策略那样计算出来，因此这种策略可以看成是开环策略根据竞争者的推测所做的调整。

在经历了近四十年的研究后，动态广告竞争的微分博弈模型领域已进入一个兼具吸引力和挑战性的发展阶段。近几年来，该领域的研究又提出了一些新的命题。如：Prasad和Sethi（2004）在双寡头的动态博弈模型中加入了随机扰动项来分析不确定性情况下的广告竞争；Cellini和Lambertini（2003）采用微分博弈模型分析了古诺模型中两个企业的合作广告博弈和非合作广告博弈所产生的社会福利，从而研究广告中存在的溢出效应（正的外部性）；Benchekroun（2007）区分了广告对商誉的影响，并且建立了一个商誉内生的微分博弈模型，在进行了动态的分析后，他发现了一个意想不到的结果：销售量对商誉的敏感性增加会导致在均衡状态的销售量的减少。综上所述，该领域的研究今后将集中在以下几个方面：（1）对闭环解计算方法的进一步发展;（2）目前大部分文献只涉及到双寡头市场的广告竞争，对多寡头竞争市场的研究还有广阔的空间；（3）今后的研究将更为突出模型的随机性和动态性；（4）过去的博弈只关注非合作博弈（即绝对的竞争情形），因而今后对广告主之间合作博弈的研究也具有很大的发展空间。

参考文献:

BASS F M. 1969. New Product Growth Model for consumer durables［J］. Management Science, 15(January): 215-227.

BENCHEKROUN H. 2007. A Unifying Differential Game of advertising and promotions［J］. International Game Theory Review, 9 （2）: 183-197.

CASE J H. 1979. Economics and the competitive process［M］. New York: New York University Press.

CELLINI R, LAMBERTINI L. 2003. Advertising with spillover effects in a Differential Oligopoly Game with differentiated goods［J］. CEJOR 11: 409-423.

CHATTERJEE R, ELIASHBERG J. 1990. The innovation diffusion process in a heterogeneous population: a micromodeling approach［J］. Management Science, 36(September): 1057-1079.

CHINTAGUNTA P K, VILCASSIM N J. 1992a. An empirical investigation of advertising strategies in a dynamic duopoly［J］. Management Science, 38 (September): 1230-1244.

CHINTAGUNTA P K, VILCASSIM N J. 1992b. A dynamic equilibrium advertising investment model for oligopolistic markets: an application to the beer industry［R］. working paper.

CHINTAGUNTA P K. 1993. Investigating the sensitivity of equilibrium profits to advertising dynamics and competitive effects［J］. Management Science, 39 (September): 1230-1244.

CHINTAGUNTA P K, JAIN D C. 1995. Empirical analysis of Dynamic Duopoly Model of Competition［J］. Journal of Economics and Management Science, 4 (Spring): 109-131.

ELIASHBERG J, CHATTERJEE R. 1985. Analytical Models of Competition with implications for marketing: issues, findings and outlook［J］. Journal of Marketing Research, 22(August): 237-261.

ERICKSON G M. 1992. Empirical analysis of closed-loop advertising strategies［J］. Management Science, 38 (December): 1732-1749.

ERICKSON G M. 1995. Advertising strategies in a dynamic oligopoly［J］. Journal of Marketing Research, 32 (May): 233-237.

ERICKSON G M. 1997. Note dynamic conjectural variations in a Lanchester Oligopoly［J］. Management Science, 43 (November): 1603-1608.

FEICHTINGER G, et al. 1994. Dynamic Optimal Control Models in advertising: recent development［J］. Management Science, 40 (Feburary): 195-226.

JRGENSEN S. 1982. A survey of some differential games in advertising［J］. Journal of Economics Dynamics and Control, 4 (November): 341-369.

KIMBALL G E. 1957. Some industrial applications of military operations research methods［J］. Operations Research, 5(April), 2: 201-204.

LITTLE J D C. 1979. Aggregate advertising models: the state of the art［J］. Operations Research, 27 (July-August): 627-667.

NGUYEN D, Shi L. 2006. Competitive advertising strategies and market-size dynamics- a research note on theory and evidence［J］. Management Science, 6 (June): 965-973.

PRASAD A, SETHI S P. 2004. Competitive advertising under uncertainty: a stochastic differential game approach［J］. Journal of Optimization Theory & Applications, 123 (1): 163-185.

SETHI S P. 1977. Dynamic Optimal Control Models in Advertising: a survey［J］. SIAM review, 19 (October): 685-725.

VIDALE M L, WOLFE H B. 1957. An operations research study of sales response to advertising［J］. Operations Research, 5 (June): 370-381.

A Review of Advertising Competition Based on Differential Game Theory

CAI Xijie CHEN Demian

(School of Economics and Management, Tongji University, Shanghai 200092)

Abstract: This paper presents a focused review of advertising competition based on differential game theory within the last four decades. It describes the analytical framework of differential game, specifies three popular differential game models in advertising competition and provides the extended models under oligopoly. Then it puts forward a review of relevant empirical researches. As a conclusion, this paper briefly comments these researches and illustrates the difficulties faced and the possible research perspective in the future.

Keywords: advertising competition; differential game; strategy

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”