从高考视角探析学生数学思维能力的培养

摘要：本文以普通高中课程标准为指导，以高中数学课程中模块的数列知识为载体，以往年高考试题中的数列问题为切入点，探析其教学方法和手段，实现培养学生数学思维能力和提高数学教学质量的目标。

关键词：数列；思维能力；教学方法

形成性思维是培养学生具有社会责任感、学会批判性思考的基本环节和要素，数学思维能力在其中起着独特的作用。从学校教育的角度而言，高中各门课程的教学都承载着培养学生思维能力的重任。中华人民共和国教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验稿）》在课程基本理念中指出“注重提高学生的数学思维能力”。表明数学课程对学生数学思维能力培养的重要性。围绕这一主题，本人试图通过对高考数学中的数列问题的分析，反思教与学对学生数学思维能力培养过程的利弊，进而促进学生数学思维能力培养和数学教学质量的提高。

纵观历年高考复习资料和高考试卷，涉及数列问题的解决方法主要采用：直接运用公式法、观察法与归纳法、累加累乘法、辅助数列法、倒序相加法、错位相加法、裂相相消法、分组求和法。下面选择性地给出5个案例分析，探究数学思维能力的培养。

一、直接运用公式法

直接运用公式是解答高考数列试题的常用方法之一，通常直接运用等差数列的求和公式与等比数列的求和公式。

案例1 （2011年全国理4）设Sn为等差数列a■的前n项和，且a1=1，公差d=2，sk+2-sk=24，则k=

A．8B.7C.6D.5

分析：因为知道sk+2-sk=24，直接运用公式得到ak+1+ak+2=24，从而代入公式得到4k+4=24，则得到结论k=5。

解：因为sk+2-sk=ak+1+ak+2

又ak+2=ak+1+d且ak+1=a1+kd则ak+1+ak+2=4k+4

又sk+2-sk=24所以k=5

【评析与教学启示】该类试题主要用于考查学生对数列概念和基本公式内涵的掌握，从数学思维能力的角度而言，主要检测学生发现关系的能力、发现属性的能力和数学通则通法的能力。在教学过程中，需要引导学生理解概念的内涵和外延，灵活巧妙地应用数学变式，恰当有效地应用公式。

二、倒序相加法

所谓倒序相加法，是指在一个数列之中，与首末两项距离相等的两项之和等于首末两项之和。在求数列时，通常将所求数列的各项分别顺序和逆序列出，将这两个顺序和逆序排列的数列对应项相加得到所求数列和的2倍，以实现问题的解决。

案例2 （2003上海春，12） 设f（x）=■.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为_____

分析：首先，从全局视角观察所求多项式中各项的 间的关系，发现以“0”为中心，5与-4、6与-5形成了“x 与1-x”的对应关系，因此以寻找f（x）与f（1－x）的关系为突破口，实现解决问题的目标。

解：依题意可知， f（1－x）=■，所以，f（x）+f（1－x）=■，

于是，采用倒序相加法知：S=f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）=3■.

【评析与教学启示】倒序相加法适用于首相、公差未知，通项为函数的解析表达式，且需要求出多个函数值和的情形。一般隐藏有“相等距离两项之和等于首末两项之和”的条件。该类题目主要用于检测考生观察能力和模式识别能力。教学时需要注意引导学生不断地经历直观感知、观察发现、反思与构建等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，它们有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式作出思考和判断，在形成理性思维能力中发挥着独特的作用。

三、错位相减法

所谓错位相减法，是指一个数列是两个数列之积且这两个数列一个为等差数列，另一个为等比数列，对此类题目通常采用错位相减法以解决问题。

案例3 （2010新课标宁夏、海南；黑龙江理科17） 数列a■满足a1=2，an+1-an=3·22n-1

（1）求数列a■的通项公式。

（2）令bn=nan，求数列b■的前n项和sn。

分析：本题通过观察并由递推关系式知an+1-an=3·22n-1，由此可以将an改写为a1+a2+…+an-（a1+a2+…+an-1），整理得到an=32n-1；要求解sn，很容易得到sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1，观察发现以sn与22sn作为突破口，则22sn-sn=（1-22）sn=2+（23+25+…+22n-1）-n22n-1，则：

sn=■[（3n-1）·22n-1+2]

【评析与教学启示】运用错位相减一般是只知道首项，但是知道某两个相邻的数之差为某一个数，并且an-an-1， an-1-an-2，…a2-a1成一定的规律，即得到一个为等差数列，另一个为等比数列，用错位相减法便可以求出数列的前n项和。错位相减法需要学生不断地思考，展开想象，构建数学思维能力，这是培养学生用基础知识解决问题的能力，更是培养学生活学活用，在面对问题时多方面思考，冷静处理问题的能力。

四、裂项相消法

裂项相消法，是指一个数列能够折成两项或者能够折成若干项。如果将它们相加，则除了首项与尾项或者只剩下少数几项之外，其他的项则能正负抵消，从而解决问题。

案例4 （2011，新课标全国理17）等比数列a■的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a■■=9a2a6

（1）求数列a■的通项公式。

（2）设bn=log■■+log■■+log■■+…+log■■，求数列■的前n项和.

分析：要求an，观察知道2a1+3a2=1，a■■=9a2a6，并且各项都为正数，则直接代入公式可以求出q=■与a1=■，则： an=3-n。

要求数列■的前n项和sn，通过观察发现将■裂项得到■=-2（■-■），则：sn=■+■+……+■=-21-■+■-■+…+■-■=-■

【评析与教学启示】求一个数列的前n项和，但是所得到的数列的通项公式却不成一定规律，如果将此数列裂项后可以得到一定规律，比如：等差数列或者等比数列，便可以用裂项相消法便求出数列的前n项和，此类题目在于培养学生两个方面的能力：第一，解决问题时要冷静，有的问题看起来很难，但是仔细思考却是容易的。第二，培养学生发散思维能力，面对问题时从另外的角度去思考便会迎刃而解。这是现在教学注重对学生全面培养的要求，更是时展的需要。

五、分组求和法

分组求和法，是指在一个数列中，如果此数列的通项公式可以写成某两个数列的和或某两个数列的差的形式，如：an=bn+cn。则采用分组求和法以实现问题的解决。

案例5 （2011山东理）等比数列a■中，a1，a2，a■分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且a1，a2，a■中的任何两个不在下表的同一列。

（1）求数列a■的通项公式。

（2）差数列满足：bn=an+（-1）nln■，求数列b■的前n项和sn。

分析：观察发现当a1取不同值会有不同的情况，①当 a1=3时，不满足题意。

②当a1=2时，当且仅当a2=6，a3=18时符合题意。

③当a1=10时，不满足题意。

所以an=2·3n-1

由bn=an+（-1）nln■发现当n取不同值sn会有不同的值，则：

当n为偶数时，

sn=an+bn+cn=3n+■ln3-1

当n为奇数时，

sn=an+bn+cn=3n-■ln3-ln2-1

【评析与教学启示】对于求一个数列的前n项和却不容易求解，如果能将其分成若干个数列之和，对于此种数列问题用分组求和法便可以解决问题，分组求和法注重培养学生面对问题时全面思考的能力，不急不燥；同时也培养学生化整为零的逆向思维。

提高学生的数学思维能力是数学教育的基本目标，《普通高中数学课程标准（实验稿）》自始至终体现有助于提高数学思维能力这一基本理念。数学思维能力的培养需要提高数学素材进行训练和培养，且有一个日积月累的过程。因此，作为处于准备期的“准教师”，在教学素材的选取和收集整理方面，应从有助于培养数学思维能力着眼和入手，开发学生的潜能，培养其创造性思维。在教学设计上注意概念、规律的提取过程、知识的形成和发展过程，注意体现数学思想方法、数学探究的规律，从而使数学课程教学成为培养学生思维能力的最好工具。

感谢：本文在写作过程中得到了蔡老师的悉心指导，在此表示感谢！

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：北京师范大学出版社，2003.

[2]叶尧城.高中数学课程标准教师读本[M].武汉：华中师范大学出版社，2003.

[3]刘元忠，宋兵，冯朋，刘金柱.状元笔记（数列与不等式）[M].湖北教育出版社，2012：68-70.

[4]刘增利，张志华，杨希，等.教材解读与拓展[M].开明出版社，2012：72-81.

[5]刘元忠，宋兵，冯朋，刘金柱.各个击破（数列与不等式）[M].湖北教育出版社，2012：31-56.