与初中生谈数学竞赛

比较近年来各地的中考与竞赛试题，我们不难发现，试题虽然在总体难度上有降低的趋势，但在思维品质的考查方面却提出了更高的要求．试题的设计比以往更重视对数学思想方法的掌握程度的考查，更注重对灵活使用数学知识解决实际问题的能力的考查．面对这一趋势，有志在数学竞赛中一显身手的同学应该怎样应对呢？

一、精选辅导资料，确保学习时间

选择一套好的竞赛辅导资料及与之配套的训练题，是确保竞赛准备有序有效的前提条件之一．因此建议同学们在老师的指导下，在林林总总的竞赛辅导书中，精选一本体例新颖、内容完整、难度适中且体现竞赛要求的奥赛辅导书，以便自己在课余时间能有效地去独立钻研，获得系统的知识与扎实的能力．

毫无疑问，具有基本的数学天赋，是我们能在竞赛中脱颖而出的必要条件；同样毫无疑问的是，在保证必要的时间投入的前提下，尽可能合理地利用时间，是取得优良成绩不可缺少的因素．在具体安排上应做到集中与分散相结合，除每周固定的辅导时间外，应该每天都有一定的时间投入，做到细水长流，集腋成裘．

二、重视反思过程，体验学习情趣

在解题过程中，切忌为解题而解题．解题不是我们的终极目标，它只是我们培养思维能力的一种手段，一种过程．在解题之后，要重视对自己思维过程的反思与研究．这种反思和研究包含以下两个层面的内容：一是这道题我是怎样切入的？又是怎样深入的？在这切入与深入的过程中，有什么可以总结的经验与教训？二是在解题过程中，怎样去体会数学思维的力与美？在数学竞赛的准备过程中，由于要掌握的知识多且深，要做的习题多且难，怎样有效地防止“智力疲劳”，保持解题的“好胃口”，就显得尤为重要．这就要求我们把自己的解题活动“调理”得生动活泼、情趣盎然．在解题的过程中，注意领略数学的奇异与优美，我们的学习就能进入一种类似于数学家享受研究乐趣的境界．

三、重视模拟训练，力求举一反三

许多同学在准备参加竞赛时，总是要找上届的竞赛题，一道一道地做，再找上几届乃至买竞赛题汇编，从第一届开始做起，希望能“撞上”几道．殊不知数学竞赛命题有一个原则，就是不用陈题．

那怎么办？不做题行吗？当然不行。我们可以“陈题”为训练靶子，通过“打靶”，达到增强实力，提高效率的目的．一种有效的训练方法是，在重视一道题解法产生的思维过程的同时，举一反三，通过追踪练习，努力达到触类旁通的境界．下面我们看一道题：

例1梯形ABCD中，AB∥CD，BD=BC，E在AD延长线上，过E和DC中点M的直线交AC于N．求证：∠DBE=∠CBN．

①延长BN交DC于F；②作DH∥AC．

这两个想法是怎样产生的呢？对于①，触发灵感的因素是对对称性的敏感；至于②，则是源于对线段“中点”概念的深入理解：中点是线段的对称中心．从这个理解出发，通过作DH∥AC，构造关于点M的对称图形，进而得到DH＝CN．

基于这个想法，还可以作CC＇∥DE，CC＇交EM延长线于C＇，这就得到了第二种证法．

证法2：作CC＇∥DE，CC＇交EM延长线于C＇．由于M是DC中点，则CC＇＝DE，

同时有＝＝.

而AB//DC＝及＝,于是＝DG＝CF.

以下同证法1．

基于对“等量代换及三角形中位线定理”的扎实掌握，还可想到延长DE到E＇，使EE＇＝ED，连接E＇C，得到第三种证法．

证法3 ：延长DE到E＇，使EE＇＝DE，连E＇C，又因为M是DC中点，于是EM∥E＇C．这样，由＝＝＝＝

CF＝DG.

以下同证法1．

基于“等比代换”方法的熟练掌握，又会产生下面的想法：延长EM交AB的延长线于B＇，得到：＝＝＝＝

＝CF＝DG.

以下同证法1．

四、关注命题趋势，加强实战训练

随着新课程的深入实施，“提供新材料，创设新情景，提出新问题”已成为竞赛题设计的新特点，对于这种新的命题趋势，我们应当予以足够的重视．下面撷取几例供大家欣赏．

1.材料利用方案设计题

例2下面让我们来探究有关材料的利用率问题：工人师傅要充分利用一块边长为100的正三角形簿铁皮材料（如图1）来制作一个圆锥体模型（制作时接头部分所用材料不考虑）。

（1）求这块三角形铁皮的面积（结果精确到0.012）；

（2）假如要制作的圆锥是一个无底面的模型，且使三角形铁皮的利用率最高，请你在图2中画出裁剪方案的草图，并计算出铁皮的利用率（精确到1％）；

（3）假如要用这块铁皮裁一块完整的圆形和一块完整的扇形，使之配套，恰好做成一个封闭圆锥模型，且使铁皮得到充分利用，请你设计一种裁剪方案，在图3中画出草图，并计算出铁皮的利用率（精确到1％）.

解析：（1）过点A作ADBC于点D.

ABC是等边三角形，BD＝BC＝50.

根据勾股定理，得AD＝＝50，

SABC＝＝2500≈4330.

（2）如图2，当扇形与BC边相切时，三角形铁皮的利用率最高.

S＝0）2

＝500

＝1250≈3925.

利用率≈ 00％≈91％.

(3)方案1：如图3（1），扇形与O相切于点E ，O与BC相切于点D.则A，E，O，D在同一直线上，且AEBC.设扇形半径为x ，O半径为y，

x+2y＝50，

则有＝2y.

解得x＝≈65.0，

y＝≈54.13.

利用率≈ 60.

方案2:如图3（2）， O与半圆D相切于点E， O与AB，AC分别相切于点F，G，连接OF，则OFAB，设半圆D的半径为x ，设O的半径为y ，

∠BAD＝30O＝2y.

3y +x＝50，

x＝2y.

解得x＝20，

y＝10.

利用率≈65%.

方案3：如图3（3），扇形与O相切于点E，O与AB、BC分别相切于点F、G.连接AO、OF、OB，则AO过点E，OFAB，BO平分∠ABC.

设O的半径为y，扇形的半径为x，则有OB＝2y ，BF＝y.

＝2y,x＝6y.

AF＝＝y＝4y.

AF+BF＝100，4y+y＝100.

y＝，x＝40.

利用率≈68.

2.折叠剪切操作题

例3电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种CPU芯片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10.05cm，问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由．（不计切割损耗）

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文