滚动圈数凭谁定

对于求解动圆滚动圈数的试题，不少同学感到难于把握，甚至束手无策．其实，只要我们了解了圆滚动的数量特征，也就抓住了解题的关键，再经过一定量的专题训练，就能较好地掌握这类题的解法，做到胸中有数，手中有法．

一、圆滚动的数量特征

原型：如图1，把O放在一条长度等于其周长的线段上，从一个端点无滑动的滚动到另一端点，O将转动圈．

解法分析：如图1，圆滚动一周，在直线上经过的路程为圆的周长2r，即AB=2r，则圆心经过的路程OO′=2r ，圆在直线上滚动一周，圆自身转动了一圈．可以证明：圆沿线（包括直线，曲线，折线）滚动时，如果圆自身转动一圈，则圆心经过的路程恰好为自身一个圆周长．反之，圆心经过的路程恰好为自身一个圆周长，则圆自身转动了一圈．

即O转动的圈数＝ ．

二、知识拓展与应用

变式1：如图2，A的半径为r, O的半径为4r，A从图上所示的位置出发绕O作无滑动的滚动，使A的圆心返回到原来的位置，则A滚动的圈数是 ．

解法分析：因两圆内切，所以OA＝4r－r＝3r,则小圆的圆心A所经过的路程长为2・3r ＝6r.而A的周长为2r，

圆A转动的圈数＝＝＝3圈．

变式2：在变式1中，如两圆改为外切，圆A又会滚动几圈？

解法分析：因两圆外切，所以OA＝4r+r＝5r,则小圆的圆心A所经过的路程长为2・5r ＝10r.而A的周长为2r，

圆A转动的圈数＝＝ ＝5圈.

变式3：如图3，若把O放在边长等于O周长的正三角形ABC上沿ABCA的线路无滑动地滚动一周回到原来的位置，则O将滚动几圈，并说明理由．

解法分析：如图3 ，O1滚动到O2时 ，转了1周 ，从O2转到O3位置时，还需转动1/3周，所以，回到原来位置时O将转动4周．

即O由起点沿ABCA运动再回到起点，圆心O经过的路程为8r，所以圈数为8r/2r＝4圈．

变式4：如将上图改为正n边形，则O又将滚动几圈？

解法分析：O由起点开始运动，到回到起点，圆心O经过的路程为（n+1）・2r，所以圈数为（n+1）・2r /2r＝(n+1)圈.

圆的滚动，其本质是圆通过自身的滚动使得圆心产生距离相同的移动．抓住了这个问题的关键，就能应对各式各样的圆的滚动问题．

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文