关于高等数学教材中的几处注记

【摘要】通过举例说明时下很多高等数学教材中关于函数极值及不定积分的定义存在漏洞，并通过参考国外的教材相应给出了更加准确的定义。摘要对时下通行的很多高等数学教材中关于无穷小比较的解释提出不同看法。通过举例及证明说明两个无穷小之比极限的不同情况并非反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度，而是反映了两者与零的差距的远近。

【关键词】极值 不定积分 原函数

【基金项目】华北电力大学科技学院教育教学改革研究项目（104011）

【中图分类号】O172 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）07-0146-01

关于一元函数y=f(x)的极值，在很多高等数学教材中都是如此定义的：设y=f(x)在点x0 的某邻域内有定义，若在该邻域内任一点x≠x0，恒有f(x)＜f(x0)（或f(x)＞f(x0)），则称f(x0)是函数 f(x)的一个极大值（或极小值）。

按此定义可得出极值是局部的最值，但局部最值未必是极值的结论。例如：

f(x)=x2,0≤x＜11,1≤x≤2，图形如图所示，

此函数在(0,2)上有最值1，而按上述极值定义在(0,2)内却不存在极值。如此一来，在求最值问题时常采用的先求出函数的极值，然后与区间边界点及不可导点处的函数值进行比较从而确定出函数欲求最值的方法就有漏洞了。

那应如何定义极值才更准确呢？国外的一些教材普遍采用如下定义：若存在点x0的某邻域，对于邻域内的任意点x，恒有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。这样定义，无论是从直观感觉还是科学严谨的角度看都更加合理，在求解一些实际问题的最值时，也会更加方便。

关于不定积分很多高等数学教材是如此定义的：称函数f(x) 的全部原函数为f(x)的不定积分，记作■ f(x)dx。按照如此的定义，不定积分■ f(x)dx是f(x)全体原函数的集合。这样的定义在解释某些问题时比较困难。例如：计算■ exsinxdx，正确运算如下：

■exsinxdx=-excosx+■excosxdx=-excosx+exsinx-■exsinxdx，（1）

于是

2■exsinxdx=-excosx+exsinx+C1，（2）

所以■exsinxdx=■e■(-cosx+sinx)+C, 其中C=■C■，按上述不定积分的定义，⑴式左右两端的■exsinxdx是同一个函数集合，按集合的性质，它们在合并后仍应是同一函数集合，那⑵式左端的因子2似乎无法解释，另外⑵式右端为何加上C1？同样不好解释。但若不加，等式右端只是一个函数，与左端的函数集合显然不等。

而若把不定积分■f(x)dx定义为f(x)的任意一个原函数，则上述问题都可得以很好的解释。由于⑴式左右两端的■exsinxdx各是exsinx的任一个原函数，则两者只相差一任意常数C1，从而在把⑴式右端的■exsinxdx移到左端后，可合理变形成⑵式。由此可见，如此定义应该是更科学一些。

时下通行的几种高等数学教材中，在讲到无穷小的比较这部分内容时，都会解释说：“两个无穷小之比的极限的不同情况反映了不同的无穷小趋于零的‘快慢’程度。”如同济第五版《高等数学》第七节内容在开始时举例说，因为“■■=0，■■=∞”，所以可以说，“在x0的过程中， x■0比3x0‘快些’，反过来3x0比x■0‘慢些’”。

我们知道，“快慢”是用来形容速率的，“快”即指速率大，“慢”则指速率小。下面来看这样一个问题：设有两个质点，它们的位置函数分别为x1=t及x2=t2。其中t表示时间变量，即于某时刻t时，两质点在同一数轴上的位置坐标分别为t及t2。当t0时，x1，x2均为无穷小，且■■=■■=0，所以x2是比x1高阶的无穷小。由导数的物理意义，可得两质点的速率：x′■=■=1,x′■=■=2t。但易看出，当0＜t＜■时，0＜x′■＜x′■，即x′■的数值反比x′■的数值大。由此例即可看出，如果用“快慢”来解释两无穷小的比较似乎有些不妥。

那应如何说才会更准确些呢？不妨以高阶无穷小的比较且xx0的情形加以说明。其它情形同理可得。由高阶无穷小的定义：

■■=0，其中α(x)≠0，■α(x)=0，■β(x)=0。

用极限定义对其进行解释，即?坌ε＞0（不妨设0＜ε＜1），当0＜x-x■＜δ时，恒有■-0＜ε，即β(x)＜εα(x)＜α(x)，所以当0＜x-x■＜δ时，便有β(x)-0 ＜α(x)-0成立。

由上例及上述证明过程可以看出，两个无穷小的比较并不能准确地反映两无穷小趋于零的“快慢”程度，它们只是反映了两者与零的差距的“远近”。高阶无穷小与零的差距相对较近，而低阶无穷小与零的差距相对较远。

参考文献:

[1]同济大学应用数学系.高等数学（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社,2002.

[2]白银凤，罗蕴玲.微积分及其应用[M]. 北京：高等教育出版社,2001.

[3]D.休斯.哈雷特，A.M.克莱逊等.微积分[M].胡乃炯等译. 北京：高等教育出版社,1999.

[4]R.埃利斯，D.格里克.微积分[M].潘鹊屏译.南京:江苏科学技术出版社,1987.