浅谈高考数列中的不等式问题

摘要:数列既是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,在历年高考中占有重要地位,常充当压轴题角色,今年高考数列压轴题在命题方向上以数列为载体与综合函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识交汇处的内容,使其更有新意,更有效的考察灵活运用相关知识分析解决问题,新疆新课改理科学习了选修4-4:不等式选讲,所以数列中的不等式问题应引起重视,下面就今年全国各省市的2010高考题中关于数列问题为例,感悟数列中的不等式问题。

关键词:高考;数列;不等式

中图分类号:G630文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)08-0068-01

例1、(2010江苏卷19)

设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列是公差为d的等差数列。

(1)求数列an的通项公式(用n,d表示);

(2)设c为实数,对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立。求证:c的最大值为。

解(1)由题意知:d>0, =+(n-1)d=+(n-1)d

2a2=a1+a3?圯3a2=S3?圯3(S2-S1)=S3,3[(+d)2-a1]2=(+2d)2

化简,得:a1-2・d+d2=0,=d,a1=d2

=d+(n-1)d=nd,Sn=n2d2

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=(2n-1)d2,适合n=1情形。

故所求an=(2n-1)d2

(2)(方法一)

Sm+Sn>cSk?圯m2d2+n2d2>c・k2d2?圯m2+n2>c・k2,c< 恒成立。

又m+n=3k,且m≠n,2(m2+n2)>(m+n)2=9k2?圯>

故c≤,即c的最大值为。

(方法二)由=d及=+(n-1)d,得d>0,Sn=n2d2。

于是,对满足题设的m,n,k,m≠n有

Sm+Sn=(m2+n2)d2>d2=d2k2=Sk。

所以c的最大值cmax≥。

另一方面,任取实数a>。设k为偶数,令m=k+1,n=k-1则m,n,k符合条件,且Sm+Sn=(m2+n2)d2=d2[(k+1)2+(k-1)2]=d2(9k2+4)。

于是,只要9k2+4时,Sm+Sn

所以满足条件的c≤,从而cmax≥。

因此c的最大值为。

点评:本题难度适中,与数列与不等式自然,搭配和谐,即可以结合不等式的性质来做,也可用结合函数求最值,

例2、(2010天津文数)(22)(本小题满分14分)

在数列an中,a1=0,且对任意k∈N*,a2k-1,a2k,a2k+1成等差数列,其公差为2k.

(Ⅰ)证明a4,a5,a6成等比数列;

(Ⅱ)求数列an的通项公式;

(Ⅲ)记Tn=++...+,证明

解:(I)证明:由题设可知,a2=a1+2=2,a3=a2+2=4,a4=a3+4=8,a5=a4+4=12,a6=a5+6=18

从而==,所以a4,a5,a6成等比数列。

(II)解:由题设可得a2k+1-a2k-1=4k,k∈N*

所以a2k+1-a1=(a2k+1-a2k-1)+(a2k+1-a2k-3)+...(a3-a1)

=4k+4(k-1)+...+4×1

=2k(k+1).k∈N*

由a1=0,得a2k+1=2k(k+1) ,从而a2k=a2k+1-2k=2k2.

所以数列an的通项公式为an=,n为奇数,n为偶数或写为an=+,n∈N*。

(III)证明:由(II)可知a2k+1=2k(k+1),a2k=2k2,

以下分两种情况进行讨论:

当n为偶数时,设n=2m(m∈N*)

若m=1,则2n-=2,

若m≥2,则=+=+

=2m+[+]=2m+[2+(-)]

=2m+2(m-1)+(1-)=2n--.

所以2n-=+,从而

当n为奇数时,设n=2m+1(m∈N*)。

=+=4m--+

=4m+-=2n--

所以2n-=+,从而

综合(1)和(2)可知,对任意n≥2,n∈N*有

这些题型的设计体现了新课改,还顺应了高考《数学考试大纲》中提出的个性品质的要求:“以事实求是的科学态度解答问题,树立战胜困难的信心,体现锲而不舍的精神”,试想当同学们不能顺利解出第一问时,还会心平气和的做出第二问吗?这里正是考察我们是否具有良好个性品质之匠心所在!