放射形配网潮流计算的一种新的牛顿法

摘 要:前推回推法是放射形配网潮流计算最基本的算法｡通过对前推回推法求解过程的数学演化,导出一种新的牛顿类型的算法及其雅可比矩阵直接分解公式｡利用比较原理,间接证明该算法是一种具有超线性收敛性的近似牛顿法｡与经典牛顿法相比,该算法无须计算雅可比矩阵､无须三角因子分解等过程,直接由前代/回代或回代/前代过程就能完成;与前推回推法相比,该算法无须特定的节点和支路编号过程｡文中以一个实际的中等规模配电系统为例,分析､比较前推回推法､导出的近似牛顿法､经典牛顿法等的收敛性和计算速度,证实上述研究结论｡

关键词:放射形配电系统;潮流计算;前推回推法;牛顿法;雅可比矩阵

中图分类号:TM744文献标识码:A

1 引 言

关于配电网潮流计算问题,国内外学者近年来做了大量的工作,提出了不少算法并发表了不少研究论文1-8]｡迄今为止,对放射形配电网而言,最基本和应用较广的潮流计算方法应该是前推回推法(Back/forward sweep method)[1,2]｡

前推回推法具有物理概念简单明了､求解过程简便快捷､收敛性较好等优点｡但是,前推回推法必须对节点和支路按一定的规则进行分层和编号,亦即是在具体的计算前,必须对配电网络进行拓扑分析,这对于大规模配电网和工程实际应用来说是一件比较麻烦的事情｡此外,前推回推法与电力系统中多年使用的牛顿求解方法在求解过程､编程思路等方面完全不一样｡因此,尽管前推回推法在具体应用中体现出较好的收敛性能和具有计算简捷的特点,但人们对前推回推法的数学机理以及其与牛顿法之间的关系应该说不是很清楚｡

本文通过对前推回推法求解过程的数学演化,导出了一种新颖的牛顿法求解形式及其雅可比矩阵直接分解公式｡因此,该方法在实际应用中兼具前推回推法和牛顿类方法两者的优点,其整体求解效率比经典的前推回推法更高,求解形式和编程思路与牛顿类方法一致｡利用比较原理,本文对所导出的算法的收敛性进行了定性分析｡

2 放射形配网潮流计算的近似牛顿法

在采用直角坐标系的前提条件下,节点功率注入可由下列方程描述:

pijk和qijk分别是支路k上由i节点流向j节点的有功功率和无功功率｡若不考虑各支路对地电纳(配电网潮流计算中即是如此),则有

因此,方程(1)成为

由于支路存在功率损耗,一般情况下有

上式意味着pijk和pjik､qijk和qjik是两个不同的变量｡为此,假设

计算技术与自动化2007年6月第26卷第2期汪芳宗等:放射形配网潮流计算的一种新的牛顿法ei≈ej;fi≈fj (i,j)∈k(5)

则从方程(2)可以推出

若对每条支路定义一个功率方向,则在上述假设条件下,方程(4)可以写成矩阵形式,即

B为带方向性的节点―支路关联矩阵｡

将节点电压看作常量､支路功率看作变量,对方程(8)应用牛顿法可得出

BΔL=ΔW(9)

式中ΔW为节点注入功率残差向量,ΔL为待求的各支路功率改变量向量｡

由于在放射形配电网中,节点数与支路数相等(n=m),因此B为一满秩稀疏矩阵,方程(8)有唯一解｡方程(8)的求解,与前推回推法中的前推过程相类似｡

由于有下列公式

对该式两边同时求导并采用与方程(5)同样的假设条件,可以得到

前推回推法中的回推过程,是利用支路功率从父节点向子节点逐次推出各节点电压降落并节点电压值｡据此思路,对方程(2)两边同时求导并利用方程(10),可以得到下列方程:

矩阵C在形式结构上与矩阵B的转置相同｡若支路的功率方向定义为从节点流向j节点,则有

若k支路为根支路,即i､j两节点有一个为根节点即松弛节点,例如j为根节点(用s表示),则有

方程(12)的求解,与前推回推法中的回推过程相类似｡

将方程(9)与方程(12)合并即得

方程(13)与方程(14)即是本文所导出的“近似牛顿法”求解形式;方程(14)即是其雅可比矩阵的分解公式或算法｡

3 近似牛顿法的应用方法

“近似牛顿法”雅可比矩阵的分解公式具有以下特性:

1)若对节点､支路按自然方式编号,支路功率方向亦按自然方式定义,则矩阵B为一稀疏矩阵,但其有多行只含一个非零(块)元素｡

2)若对节点按先父节点后子节点､对支路按先父层后子层的方法编号,则矩阵B为一上三角阵､矩阵C为一下三角阵;反之,则矩阵B为一下三角阵､矩阵C为一上三角阵｡

Ш笠恢智榭鍪蔷典的前推回推法所必须的编号方法｡在此前提下,应用“近似牛顿法”对放射形配电网进行潮流计算,其求解过程与经典牛顿法中最后一步的前代/回代(Forward/backward substitution)或回代/前代(Backward/forward substitution)过程是完全一样的｡显然,此种应用方法仍需对配电网络进行拓扑分析进而对节点和支路进行编号｡

基于以下事实,本文推荐直接采用自然编号方式(经典牛顿法对节点和支路是采用自然编号方式的):

1)采用自然编号方式无需网络拓扑分析,可节省编号所需时间;

2)B矩阵中与叶节点相对应的行均只含一个非零(块矩阵)元素,C矩阵中与根支路相对应的行只含一个非零元素､其它行均只含2个非零元素｡这是由放射形配电网固有特点所决定的｡因此,可采用类似的前代/回代或回代/前代方法对方程(13)进行求解｡

应该着重说明的是:应用“近似牛顿法”,方程(13)中的雅可比矩阵(J)无需事先直接计算和形成;方程(14)中的B､Y､C无需进行任何数值计算(因子分解)而是直接形成｡因此,“近似牛顿法”在实际应用中具有极快的计算速度,它在求解形式和编程思路上与牛顿法潮流计算相似,但省掉了费时的雅可比矩阵计算､雅可比矩阵三角因子分解等过程,保留了前推回推法的优点｡

4 近似牛顿法的收敛性证明

对方程(1)直接应用牛顿法可以导出下列公式:

利用方程(3)及假设条件(5),可以导出

将方程(16)､(18)与方程(11)对比,可以很方便地推出或验证

至此,验证了第2节所导出的方法,是在假设条件(5)的前提下的一种严格的牛顿类方法｡

若进一步采用以下假设条件

则有

上两式中Y′为电网系统的节点导纳矩阵｡很显然,在方程(20)的假设条件下,“近似牛顿法”成为定雅可比方法｡

众所周知:经典牛顿法是2阶收敛的;定雅可比方法是线性收敛的｡因此,根据比较原理可以得知:本文所导出的“近似牛顿法”是超线性收敛的,即1

5 算例检验结果及分析

为叙述方便,若对雅可比矩阵按方程(16)和(17)进行严格计算和形成､同时进行三角因子分解,则将其称为“经典牛顿法”;若采用与“经典牛顿法”相同的自然编号法,同时不计算雅可比矩阵而是直接形成B､Y､C,然后进行前代/回代计算,则将其简称为“本文方法”(即“近似牛顿法”)｡

5.1 算例系统简介

算例系统采用了某县级供电公司一个35kv变电站内､10kv母线上负荷最大的一条10kv主出线所供电的配电系统｡该系统含71条10kv线路(严格的说法应为71段线路)､43个配变,是一个典型的放射形配电系统｡以10kv母线为源点､配变低压侧母线为边界点,该系统共计114条支路和114个节点｡

线路全为架空线路,导线型号大部分为LGJ-50,少量为LGJ-35,据此并结合线路长度可以计算出所有线路的原始阻抗｡配变支路参数可直接根据配变铭牌参数进行简单计算得出｡各配变负荷按其月度平均功率进行计算,同时均设为恒功率负荷｡

之所以选用上述配电网络作为算例系统,主要是因为:该系统为一中等规模的放射形配电网络,具有实际性和普遍性;潮流计算所用数据直接从该配网管理系统数据库中导出,所有节点和支路均是随机､自然编号的｡

5.2 测试结果及分析

表1是分别利用“本文方法”､前推回推法､经典牛顿法等三种方法对上述系统进行实际编程计算所测得的结果｡因负荷水平为kW/kVar量级,所以收敛精度均统一定为ΔWi≤10-5p.u.｡

表1 三种算法的测试结果比较

所用方法计算时间/s迭代次数本文方法0.645前推回推法0.735经典牛顿法5.884

从表1可以看出,本文所导出的方法在收敛性方面与经典牛顿法差别不大､与前推回推法相同或相近,在计算速度上比前推回推法更快,这主要是因为前推回推法的数值计算过程与本文所导出的方法基本相同,但前推回推法须对节点和支路进行“重新编号”(非数值计算过程)｡

经典牛顿法由于在每步求解中均须计算雅可比矩阵并进行三角分解,因而极费时间,这是必然的结论｡本文之所以将“近似牛顿法”与经典牛顿法进行对比,主要是对比和测试本文所提方法的收敛性｡

6 结 论

本文通过对前推回推法求解过程的数学演化,导出了一种新的牛顿类型的算法及其雅可比矩阵直接分解公式｡利用比较原理,间接证明了该算法是一种具有超线性收敛性的近似牛顿法｡与经典牛顿法相比,该算法无须计算雅可比矩阵､无须三角因子分解等过程;与前推回推法相比,该算法无须特定的节点和支路编号过程｡

本文的推导方法及其过程,间接但直观地阐明了前推回推法的数学机理｡

本文所提方法及相关计算公式可推广应用于放射形配网的三相潮流计算､状态估计等｡

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。