这样探究行吗?

今年3月25日晚上，在武汉小学笔者有幸参加了“湖北省‘综合与实践’学与教的研究”课题组研讨活动。活动中，黄石市市府路小学的一位教师介绍了他们学校设计的一节“综合与实践”活动课，名为“小纸片，大玄机”。听完介绍后笔者有一些不一样的想法，在这里与大家一起分享，望各位教师一起探讨、批评指正。

一、简要的记录

黄石市市府路小学教师设计的“小纸片，大玄机”这节课属于“小课题”形式的数学活动课。教学对象是六年级学生。这节课引导学生研究的问题是：一张正方形纸，在它的四个角上各剪下一个相同的小正方形，然后将这张纸折成一个无盖的长方体形状的容器（如右上图），怎样剪，折成的长方体形状容器的容积最大？教师特别说明：为了研究方便，折成长方体形状容器的长、宽、高取整数厘米。

教师首先引导全班学生一起研究边长为18厘米的正方形如何剪所得的长方体形状的容器容积最大，以获得初步的探索规律。然后将学生分两大组分别研究边长为12厘米、24厘米的正方形纸，并完成如下的记录表：

折成容器的

学生在教师的引导下进行有序研究，从折成长方体形状容器的高入手，把高依次想成1，2，3，4……再分别算出折成长方体形状容器的长、宽、容积，并找出容积最大的情况。

学生研究后找出的最大容积情况如下：

原正方形纸

然后教师引导学生观察表格，得出结论：当剪下小正方形的边长（即折成的无盖长方体形状容器的高）是原正方形纸边长的时，折成的长方体形状容器的容积最大。

这时教师指出：这个规律是否真的存在，我们进一步用数据来验证。于是教师要求学生分别用边长30、36厘米的正方形纸进行验证。

从以上的简要记录中可以看出，活动设计者可谓是颇有智慧、独具慧眼，他从浩如烟海、纷繁复杂的生活问题中找到了适合学生探究、学生感兴趣的问题，并让学生在活动中经历探究的过程、交流各自的发现，从而享受成功的喜悦。这无疑是值得广大教师认真学习的。但是，笔者个人认为这节课的探究过程还是有一些地方值得商榷。

二、值得商榷的问题

1. 教师说明“为了研究方便，折成长方体形状容器的长、宽、高取整数厘米”合理吗？

学生分组研究前，教师特别说明：为了研究方便，折成长方体形状容器的长、宽、高取整数厘米。很显然，取整数厘米，学生的探究次数是有限的，计算也较容易，但却存在着一个问题。试想，如果学生用长、宽、高取整数厘米的办法研究边长16厘米的正方形，那么高是3厘米时，折成的长方体形状容器的容积最大（见右上表），但这显然与“当剪下小正方形的边长是原正方形纸边长的时，折成的长方体形状容器的容积最大”这一结论不符。

的错，限于小学生的认知水平，不完全归纳法仍是一个探寻规律、发现规律的好办法。

那么，取消“折成长方体形状容器的长、宽、高取整数厘米”，是不是问题就迎刃而解了呢？显然也不是。这样一来学生就要探究无数次，因为折成长方体形状容器的高可以是0.1、0.24、0.312、0.4278……学生将无从下手。

2.教师指定研究边长为12、18、24、30、36厘米的正方形合适吗？

活动设计中，教师为了让学生顺利得出结论，精心选择了边长为12、18、24、30、36厘米的正方形进行研究，以利于学生通过不完全归纳法得出正确结论。可是，指定若干个数据进行研究不符合“不完全归纳法”探索问题的常理。“不完全归纳法”是从一类对象中部分对象都具有某种性质，推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法。这里的“部分对象”应是“一类对象”中的任意“部分”。也就是说学生应有在一定范围内选择研究对象（边长为任意长度正方形）的权利，也只有这样得出的结论才具有说服力。

总之，在此活动设计中，探究过程存在一定漏洞，得出的结论还不足以让人信服。

三、改进的建议

为解决以上两个问题，笔者个人建议本次活动课的探究部分可以作如下改进。

将探究过程分为两大步骤。第一大步骤：初得结论。引导学生探究“边长为6厘米倍数的正方形怎样剪，折成的长方体形状容器的容积最大？”这时，学生可自由选取边长为6厘米倍数的任何一个正方形来研究。教师仍然提示“折成长方体形状容器的长、宽、高取整数厘米”以简化研究过程，方便研究。这样，学生经过自主探究，合作交流，可以得出结论：对于边长为6厘米倍数的正方形，当剪下的小正方形的边长是原正方形纸边长的时，折成的长方体形状容器的容积最大。这时教师再提出问题：如果正方形边长不是6厘米的倍数，是不是也存在同样的规律呢？转而进入第二大步骤。

第二大步骤：结论推广。让学生猜想是否有同样的规律，再想办法进行验证。这时就不再限定“长、宽、高取整数厘米”。在验证前可以引导学生观察第一个步骤中的记录表，让学生发现折成的容器的高由小到大逐渐增加时，容器的容积变化特点是先变大，到达最大值后，又逐渐变小。再让学生讨论可以如何验证。实际上，验证时，学生可以先找出待验证的“最大容积”及这时容器的高，然后只需验证比这个“高”多一点和少一点时，长方体容积是不是比“最大容积”小就可以得出结论了。例如对于边长为15厘米的正方形，学生猜想的结论是：当剪下小正方形的边长是原正方形纸边长的，即是2.5厘米时，折成的容器容积最大，这时最大容积是250立方厘米。学生只需验证剪下小正方形的边长是2.4厘米及2.6厘米（或2.49厘米及2.51厘米，或2.499厘米及2.501厘米……）时，容积是不是比250立方厘米小，如果是，说明猜想基本正确。

值得说明的是，在验证时应允许学生用计算器或Excel等工具，当然教师也可以利用几何画板，让学生操作、观察进行验证。

通过这样有层次的两大步骤，学生可以得出令他们信服的结论，同时也经历了科学探究的一般过程，探究过程较为严谨。

四、补充的说明

从数学的角度出发，从“不完全归纳法”推理得出的结论是不可靠的，是需要证明的。就像哥德巴赫猜想一样，大量的例子指向它是正确的，可是无人能进行数学证明，所以至今只能叫“猜想”。那么本次活动中的结论对小学生来说是正确的，小学生没有足够的知识去质疑它。但作为教师，可以用求函数极值的方法来得到这个结论。设原正方形边长为1，剪下的小正方形边长为x（0

于是有：y=（1-2x）2x

=4x3-4x2+x

令此函数的一阶导数为0，即12x2-8x+1=0，可求得唯一的驻点x=。

当x=时，函数的二阶导数

24x-8=24×-8=-4

因此，当x=时原函数有极大值。由于在定义域内只有一个极值点，且是极大值点，因此也就是取得最大值的点。也就是说剪下的小正方形边长为原正方形边长的时，折成的长方体形状容器的容积最大。

（湖北省武汉市黄陂区前川镇第五小学 430300）