平面向量中的“等势线”研究

【摘要】归纳总结了向量共线定理及其推广的应用，建立了“等势线”的概念并研究其性质.

【关键词】向量；共线定理；等势线

向量本身是数与形的完美结合的典范，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面.我们又以向量为工具，数形结合地解决数学的有关问题.笔者经过多年的教学发现，向量特别是线性表示运算是学生们较为头疼的一类问题，本文就这类问题进行阐述，并从苏教版课本必修四《向量》中一道例题出发，结合多道例题进行探讨向量共线定理推广的应用；该题引出了向量共线定理的推广，也为我们建立“等势线”概念奠定了基础.

图1原题：如图1，OAB中，C为直线AB上一点，若AC=λCB（λ≠-1）.求证：OC=OA+λOB1+λ.

解析因为AC=λCB，

所以OC-OA=λ（OB-OC），

即（1+λ）OC=OA+λOB.

又因为λ≠-1，即1+λ≠0，

所以OC=OA+λOB1+λ.

反之，亦成立.易得到向量共线定理的一个推论（以下简称三点共线推论）：设OA，OB是平面内不共线的两个向量，则点A，B，C三点共线的充要条件是存在唯一一对实数α，β，使得OC=αOA+βOB（α+β=1）.

利用这个推论，可以较为轻松的解决两类问题：一是求系数和问题，二是求三点共线问题.若我们能利用好此推论，则可以在这两类问题中省去很多添辅助线和证明过程.本文主要谈谈第一种问题.

图2例1如图2.在ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC=λAE+μAF，其中λ，μ

SymbolNC@ R，λ+μ=.

分析连接EF，BD分别交AC于点H，O.

因为E，F，H三点共线，

所以AH=αAE+βAF（α+β=1）.

易证H为OC中点，所以AH=34AC.

因此AC=43αAE+43βAF.

所以λ+μ=43α+43β=43.

点评这里先由E，F，H三点共线推论得AH用AE和AF线性表示，系数之和为1，再由AH与AC为共线向量，得其线性关系，两者联立，大功告成.

图3例2给定两个长度为1的平面向量OA，OB，他们的夹角为120°，如图3所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB，其中x，y

SymbolNC@ R，则x+y的最大值是.

分析连接AB交OC于点H，

则由因为A，B，H三点共线，

所以OH=αOA+βOB（α+β=1）.

又因为O，C，H三点共线，

所以OH=λOC，λ

SymbolNC@ （0，1]，即OC=αλOA+βλOB.

因此x+y=αλ+βλ=α+βλ=1λ.

且λ=OHOC=|OH|，由O到AB的距离为12知，

λ

SymbolNC@ 12，1.

所以x+y的最大值为2.

事实上，以上两题的解法也是众多解法中比较简单的，然而山外有山，笔者在研究了例题3基础上，发现一种更为简洁的解法.

图4

例3如图4所示，两射线OA和OB交于O，给出下列向量：①OA+2OB；②34OA+13OB；③12OA+13OB；④34OA+15OB；⑤34OA-15OB这些向量中以O为起点，终点在阴影区域内的是.（写出所有符合要求的向量的序号）

分析在AB上取一点P，作射线OP.

在线段OP上取一点P1，线段OP外取一点P2，OP=αOA+βOB，（α+β=1）.

点P2在阴影部分中，由O，P，P2三点共线知，OP2=λOP，

且λ=OP2OP>1，所以OP2=λOP=λαOA+λβOB，

因此系数和λa+λb=λ（α+β）=λ>1所以只能选①②.

同理可得，当点P1线段OP上时，则OP1=μOP=μαOA+μβOB，μ

将此题进行推广，当点P取在直线AB上时，OP=xOA+yOB，则x+y=1；当点O，P位于直线AB的两侧时，形成的OP=xOA+yOB，系数和x+y>1；当点O，P位于直线AB的同侧时，形成的OP=xOA+yOB，系数和x+y

图5图6图7

若在AB的平行线CD上任取一点P，如图6所示，OP=xOA+yOB，则系数和x+y等于一个常数，证明如下：在直线CD上任取一点P′，线段OP，OP′交直线AB于Q，Q′，由平行线分线段成比例可知OPOQ=OP′OQ′=λ，则OP=λOQ=λαOA+λβOB，其中α+β=1，所以系数和x+y=λα+λβ=λ（α+β）=λ；同理可得OP′=OQ′=λsOA+λtOB，其中s+t=1，所以系数和x+y=λs+λt=λ；证毕.

像这样平行于AB的直线有无数条，笔者把这样的直线叫做“等势线”，由上面证明知“等势线”上任意一点P，OP=xOA+yOB，x，y

SymbolNC@ R，系数和x+y为定值.且点O与“等势线”位于直线AB两侧时，系数和大于1，两者距离越远，系数和越大；当“等势线”位于直线AB上时，系数和x+y=1；当点O与“等势线”位于直线AB同侧时，要分三种情况进行讨论：

①“等势线”位于点O与直线AB之间时，OPOQ=λ

SymbolNC@ （0，1），则由OP=λOQ=λαOA+λβOB，其中α+β=1，所以系数和x+y=λ

SymbolNC@ （0，1）.

②“等势线”位于点O，系数和x+y=0.

③点O位于“等势线”与直线AB之间，如图7，系数之和x+y=λ

若将上述结论用于例题1，延长AE交过点C的“等势线”于点G，则AG=xAE+yAF，由于AG与AE共线，所以y=0，由“等势线”概念可知，EF//CG，所以AEAG=AHAC=34，因此AG=43AE，最后λ+μ=x+y=43.

例题2也可用“等势线”性质求解，系数和取得最大值时“等势线”恰为半圆的切线，由对称性易得C为AB的中点，连接AC，BC得四边形OACB为平行四边形.所以此时OC=OA+OB，系数和x+y=1+1=2.

在此基础上，笔者发现等势线的运用起来非常方便，绝大部分系数之和问题可以再很短的时间内看出结论，

课本中的每一个例题、习题的设置都有其目的和作用.体现着本节知识所应达到的能力要求，我们不仅要紧扣课本，认识到认真钻研课本的重要性，突出课本基础知识的作用突出课本例题中数学思想方法的挖掘和应用，也要重视课本习题潜在功能的挖掘和利用，指导学生回归课本，依“纲”固“本”，挖掘课本的潜在功能，对课本典型问题进行引申、推广，发挥其应有的作用，这与高考命题的“源于课本，高于课本”的理念是相吻合的.