关于分段函数的应用举例分析

摘要：数字在生活中可以说是无处不在的，也与我们的生活有着密不可分的联系，如何运用好数字，使其更好的为人们服务是数学教学的一项主要目标，也是我们教学的一个重要指导。函数作为研究数字输入与输出关系的一个特殊关系，在高中数学教学中占着重要的作用：通过对于函数的学习，我们能够很好的处理数字与数字之间的关系、数字与我们生活的关系，使数字能够更好的发挥其效果，提升我们的生活质量、加快我们的工作学习效率。分段函数作为函数的一个特殊形式，与我们的生活有着密不可分的联系，更值得我们去分析、去研究、去学习。本文笔者就生活中常见的一些分段函数案例进行论述，谈一下我对分段函数教学的一点认识。

关键词：高中 数学 分段 函数 应用 分析

一、 分段函数的表达

想要正确的运用分段函数，首先就需要对于分段函数有一个正确的认识。在很多初学者看来，分段函数是几个不同的函数组成的，并且有各自不同的表达式。其实不然，分段函数是一个函数，而不是几个函数：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集，之所以有不同的表达形式，是因为自变量x在不同的取值范围里有着不同的对应法则。例如数列{an}={2，4，6，8，π}，我们就可以用分段函数进行表达：

在生活中有很多关于分段函数的案例，比如出租车的计费规则便是一个分段函数，我们举例进行表达：

例一：某地方出租车的收费标准：不超过3km计费为7元，3km后按1.6元/km计费，求搭车费用y与行车里程数x之间的函数式。

分析：这是一个相对比较简单的分段函数式，主要分为两部分：超出3km是一个函数关系，未超出3km又是一个函数关系，所以只要分清这两部分就可以了，可以很简单的列举出打车费用y与里程x的关系：

根据这个表达式，我们就可以跟简单地进行费用的计算，或者也可以根据费用来计算里程数。

二、 分段函数的运用

在生活中，关于分段函数的应用也是比较多的，其中最常见的就是关于盈利类的函数解析。通过对数字之间的关系进行分析、处理，我们就能够很明确的得出各个数字之间的联系，进而使其为我们的生活服务。

例二：某公司用480万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元。经过市场调研发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件。设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为w（万元）。（年获利=年销售额-生产成本-投资成本）

（1）直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）求第一年的年获利w与x间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？

（3）若该公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利不低于1842元，请你确定此时销售单价的范围。在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？

分析：（1）根据题意，列出分段函数。（2）根据条件，求出二次函数解析式，从中找出最值以及相应的自变量范围。（3）分情况进行讨论，找出最值以及相应的自变量取值范围。

解：（1）

（2）投资成本为480+1520=2000万元

当100≤x

w=xy-40y-2000=（x-40）（-0.08x+28）-2000=-0.08x2+31.2x-3

120=-0.08（x-195）2-78

可见第一年在100≤x

当200≤x≤300，y=-0.1x+32，

w=xy-40y-2000=（x-40）（-0.1x+32）-2000=-0.1x2+36x-3280

=-0.1（x-180）2-40

可见第一年在200≤x≤300注定亏损，x=200时亏损最少，为80万元

综上可见，x=195时亏损最少，为78万元。

（3）两年的总盈利不低于1842万元，可见第二年至少要盈利1842+78=1920万元，既然两年一块算，第二年我们就不用算投资成本那2000万元了。

第二年：

100≤x≤200时

第二年盈利=xy-40y=-0.08（x-195）2+1922≥1920

解不等式得到：190≤x≤200

200≤x≤300时

第二年盈利=xy-40y=-0.1（x-180）2+1960≥1920

解不等式得到：160≤x≤200，联合200≤x≤300，也就只有x=200

综上有190≤x≤200为解

这时候再看y=-0.08x+28，可见x=190时，y最大，为12.8

所以定价190元时候，销售量最大。

例三：某集团公司在2009年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理工厂，如下表：

如果每期的投次从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2009年以后的x年的总收益为f （x）（单位：千万元），试求f（x）的表达式，并预测到哪一年能收回全部投资款。

解析：由表中的数据知，本题需用分段函数进行处理，该集团公司分3批进行投资，那么每个阶段的函数表达式都是不一样的，同时每个阶段的收益也是不同的，这就需要我们进行综合的计算，以便能够得出收回投资的时间。由表中的数据我们就可以列出以下表达式：

显然，当投资总年数n≤4时，不能收回投资款。

当n≥5时，由f（n）=10n-24>70，

得n>9.4，取n=10。所以到10年后，即2019年可以收回全部投资款。

以上是我个人在教学过程中总结的一些分段函数的经典例题，在此进行分析、总结，旨在为分段函数的教学工作提供一些可参考的依据，希望各位同行批评、指正。