例谈运用化归思想巧解竞赛题

【前言】例谈运用化归思想巧解竞赛题由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。例2：（2006年江苏省初二数学竞赛第二题）河岸l同侧的两个居民小区A、B到河岸的距离分别为a米、b米（即图（1）中所示AA′=a米，BB′=b米），A′B′=c米。现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小。（1）在图（2...

化归思想是一种解决数学问题的指导思想和基本策略，即通过问题本质的内在联系，设法把未知问题转化为已知问题，把复杂问题转化为简单问题，把非常规问题转化为常规问题，从而使问题得以顺利解决。在一些数学竞赛题中，巧用化归思想，疑难问题就会迎刃而解。

例1：有100个同学围成一圈，编号为1、2、3、4……，让他们按“1”、“2”报数，其中报“1”的离开，报“2”的留下，不断循环报数，问最后留下的一位同学的编号为多少？

分析：初看问题，有学生会以为是“100”，但再一思考，“100”在第三轮中就被变“1”离开了，也即说明最后留下的这个数是在报数过程中总被报“2”的。我们熟悉这样一个事实：如果有2 个数，则最后留下的就是第2 个数，于是问题就变为如何将100个数转化为2 个数的报数问题了。

化归方法：最靠近100的2 数是64，也即先去掉36个数，在第一轮报数中数到第36个“1”的是原数列中的“71”，去掉这36个“1”后，就转变为64个数的报数问题了，此时第一个“1”是从原数列中数“73”开始报起，相对于“73”作为“1”而言，最后一个数是“72”，“72”也就是最后留下的数。

小结：抓住报数特点，化归为具有这种特点的最简单数列。转化的关键是如何根据原数特点进行构造特征数列。如1998年天津市竞赛题：有两副扑克牌，每副牌的排列顺序均按头两张是大王、小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按1、2、3……J、Q、K顺序排列。某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，直至最后剩下一张牌，试问最后一张牌是哪一张？此题也可看作“报数”问题。

例2：（2006年江苏省初二数学竞赛第二题）河岸l同侧的两个居民小区A、B到河岸的距离分别为a米、b米（即图（1）中所示AA′=a米，BB′=b米），A′B′=c米。现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小。（1）在图（2）中画出绿化带的位置，并写出画图过程；（2）求AC+BD的最小值。

此题同2006年湖州市中考题相似：如图（3），在平面直角坐标系中，点A、B点的坐标为A（2，-3）、B（4，-1），若C（a，0）、D（a+3，0）是X轴上的两个点，则当a为何值时，四边形ABCD的周长最小？

初看还真一时找不到头绪，最有联系的应该是大家熟知的“将军饮马问题”，也就是，如图（4）在DE上找点F使AF+BF最小。通过作A关于DE的对称点C，从而将问题转化为“在DE上找一点F，使它到DE异侧的B、C距离和最小”。显然点F为BC与DE交点。但是此题却要找两个点C、D，且CD=s，使AC+BD最小。若将B点向左水平移动S距离至B′如图（5），这样问题就转化为图（4）的“将军饮马”问题了，按照图（4）中的作法，首先找到点C，再向右移动s距离找到点D，连接AC、BD，这样便满足AC+BD最小，即为 （证明略），这样，将“在L上找线段CD”的问题转化为在L上找一个点的问题。显然，在图（3）的问题里，CD=3，所以将B向左移动3个单位（或者将A点向右移动3个单位，从而“找线段CD”问题转化为找一个点的“将军饮马”问题。）

例3：（第13届希望杯全国数学邀请赛）如图（1），已知D、E是AC的三等分点，F、G是BC的三等分点，AF、AG分别交BE于H、L，求四边形HFGL面积。

分析：由于四边形HFGL中顶点H、L的位置未知，所以无法直接求它的面积，但是我们不难求下图（2）中四边形LGCE的面积：已知E是AC的三等分点，G是BC的三等分点，AG交BE于L。设S =x，S =y，因为BG=2CG，AE=2CE，所以S =2x，S =2y。由于S =S ，则3x+y= 且3y+x= ，所以x=y= ，四边形LGCE的面积 。用同样的方法也可求图（4）中四边形HFCE的面积为 。这样四边形HFGL面积可转化为这两个基本图形的面积差 - = 。同样，图（5）中的阴影四边形的面积也可转化为两个类似图（1）中四边形的面积差，即为JFGK面积减HFGL面积，JFGK面积也同图（1）中HFGL面积求法，转化为类似图（2）中两个四边形面积的差。

从上面三道竞赛题解法中可看出运用化归思想解决问题的关键是首先找到“源”，这个“源”可能是数学规律、定理，也可能是一基本几何图形，或者是已经解决过的数学问题。通过对原数列、图形的合理割补，或是利用平移、旋转、翻折等图形变换方式将复杂问题转化为熟悉的简单的图形或数据问题，从而化繁为简，化难为易。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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