类比推理的教学设计

摘要：类比是根据两个对象或两类事物间存在着的一些相同或相似的属性，猜测他们之间也可能具有的其他一些相同或相似的属性的思维方法。类比联想可发现新的数学知识，类比推理可寻求解决问题的方法和途径，可培养学生的发散思维和创造思维及合情推理的能力。

关键词:类比推理；教学设计；数学教学

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2012）03-0251-01

高考中常以类比思维为轴心，与数学思想、数学方法、数学基础知识整合，形成开放性的题目，设计此文让大家对类比推理有更深的了解。

1.由特殊向一般类比

由特殊向一般类比，培养学生的发散思维、理性思维、判断猜想及探索能力。

例1、由a,b∈R+且a≠b,则 a3+b3＞a2b+ab2.。

由上式可类比若a,b∈R+且a≠b, 则 an+bn＞an-1b+abn-1，给出证明。

证明：要证an+bn＞an-1b+abn-1成立，

只需证(an-1-bn-1)(a-b)＞0成立

若a＞b,则an-1-bn-1)＞0，(a-b)＞0，上式成立，

若a＜b,则an-1-bn-1)＜0，(a-b)＜0，上式成立，

an+bn＞an-1b+abn-1。

2.由抽象向具体类比

由抽象向具体问题类比，培养学生思维的灵活性，化归的思想，合情的联想和理性思维。

例2、已知f(x)是定义在R上的不横为零的函数，且对于任意的a,b∈R都满足：f(ab)=af(b)+bf(a).

（1）求f(1)、f(0)的值；

（2）判断f(x)的奇偶性，并证明结论；

（3）若f(2)=2,Un=f(2-n) n,(n∈N*),求数列｛Un｝的前n项和Sn.

解：(1)令a=0,b=0，则f(0)=0f(0)+0f(0), f(0)=0.

令a=1,b=1,则f(1)=f(1)+f(1), f(1)=0.

(2)函数f(x)的定义域为R,

令a=-1,b=-1，则f(1)=-f(-1)-f(-1),而f(0)=0,f(-1)=0,

令a=-1,b=x, 则f(-x)=-f(x)+xf(-1),f(-x)=-f(x),

f(x)为奇函数。

(3)由f(ab)=af(b)+bf(a).得 f(ab)ab=f(b)b+f(a)a令g(x)=f(x)x ,

则个g(ab)=g(a)+g(b),且f(x)=xg(x),由此式我们可以联想到对数函数的性质：g(an)=ng(a)，f(an)=ang(an)=nang(a)=nan-1f(a),

Un=f(2-n)n=(12)n-1 f12又f(2)=2,

f(0)=f(1)=f(2×12)=2f(12 )+12 f(2)= 2f(12)+1

f(12 )=- ,Un=(-12 )×(12 )n,Sn=(12 )n-1.

评注：此题由抽象函数类比具体函数，培养了学生联想、类比、化归等数学思想，以及分析问题和解决问题的能力。

3.由平面向空间类比

平面几何和立体几何中有许多问题可以由平面类比到空间，

例3.如图，图①有面积关系： SΔPA1B1SΔPAB= PA1.PB1PA.PB猜想图②有体积关系：VP-A1B1C1VP-ABC，并予以证明。

猜想： SΔPA1B1SΔPAB= PA1.PB1.PC1PA.PB.PC

证明： SΔPA1C1SΔPAC= PA1.PC1PA.PC ，

设B1O和BO1分别为三棱锥B1-PA1C1和三棱锥B-PAC的高，

B1OBO1=PB1PB，而 VP-A1B1C1=VB1-PA1C1,=13SΔPA1C1.B1O

VP-ABC=VB-PAC,=13SΔPAC.BO1 .

VP-A1B1C1VP-ABC=VB-PAC=PA1.PB1.PC1PA.PB.PC

4.平行类比

例4、 若数列{an}(n∈N*) 为等差数列，则有bn=a1+a2+A+ann(n∈N*) 也为等差数列， 类比上述性质，相应地，若数列 {cn}(n∈N*)是等比数列，且cn>0 (n∈N*)

则有dn=c1+c2+..省略n也是等比数列。

在中学数学教学过程中,我们常常会有“似曾相识”的感觉,如果把“似曾相识”的东西进行比较,加以联想的话,可能会出现许多意想不到的结果和方法.这种“把类似进行比较、联想,由一个数学对象已知的特殊性质迁移到另一个数学对象上去,从而获得另一个数学对象的性质”的思维方法就是类比法. 发挥你的聪明才智，用好类比法，去发现数学中的更多的奥妙。