例谈不等式恒成立问题的转化

( 湖北省大悟县中职校湖北大悟432800)

摘要：在高考试题中有很多关于不等式恒成立的问题，根据以往的教学经验，学生对这类问题普遍感觉不会转化。这类问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何等知识点有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、知识交汇点多等特点。求其中的参数的值或取值范围.解决这类问题的关键是等价转化，而等价转化过程往往渗透着换元、化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法，其常用方法主要有：更换主元法、分离参数法、数形结合法、最值法等。

关键词：恒成立；函数性质；等价转化；数形结合；参数范围

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2012）03-0252-02

例1 ：已知不等式x2-2ax+1>0对x∈[1,2] 恒成立，其中a>0．求实数a 的取值范围．

分析：题意转化为函数f(x) =x2-2ax+1的最小值大于0，但是求f(x) 在x∈[1,2] 上的最小值要对a的值分三种情况讨论，故此法不可取。

解：因为x∈[1,2] ，所以已知条件可以转化为a

(x+1x) ，即a

例2．设f(x) =x2-2mx+2 ，当x∈[-1,+∞) 时，f(x)≥m 恒成立，求实数m的取值范围。

解：设 F(x) =x2-2mx+2-m，则当x∈[-1,+∞) 时，F(x)≥0 恒成立

当Δ=4(m-1)(m+2)

当 Δ≥0时，如图，F(x)≥0 恒成立的充要条件为：

Δ≥0

，F(-1)≥0

--2m2≤-1解得13≤m≤-2

综上可得实数m 的取值范围为[-3,1)。

小结一：函数最值法，当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解.具体方法如下：

⑴若不等式A

⑵若不等式B>f(x) 在区间D上恒成立,则等价于在区间D上B>f(x)minf(x) 的上界小于B。

例3．已知f(x)=7x2-28x-a,g(x)=2x3+4x2-40x ，当x∈[-3,3] 时，f(x) ≤g(x)恒成立，求实数a 的取值范围。

解：已知条件转化为：f(x)-g(x) ≤0 在x∈[-3,3] 时恒成立，即F(x)=f(x)-g(x)=2x3-3x2+12x-a ，令F'=6x2 +6x+12=0，得x=-1或x=2

而F(-1)=-7a,F(2)=20-a,F(-3)=45-a,F(3)=9-a

F(x)max=45-a ≤0

a≥45即实数a 的取值范围为 [45,+∞]。

例4.已知函数 f(x)=a2-2ax+1，g(x)=xa ，其中 a>0，x≠0 ．

对任意x∈[1,2] ，都有f(x)>g(x) 恒成立，求实数a 的取值范围；

分析：转化为函数f(x)-g(x)>0 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决。

解：由x2-2ax+1 -axa

小结二：分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：

1）f(x)f(x)man

2）f(x)>g(a) (a为参数)恒成立 g(a)

例5．对任意 a∈[-1,1]，不等式x2+(a-4)x+4-2a>0 恒成立，求x 的取值范围。

分析：题中的不等式是关于 x的一元二次不等式，但若把 a看成主元，则问题可转化为一次不等式(x-2)a+x2-4x+4>0 在a∈[-1,1] 上恒成立的问题。

解：令f(a)=(x-2)a+x2-4x+4 ，则原问题转化为f(x)>0 恒成立（a∈[-1,1] ）

当x=2 时，可得f(a)=0 ，不合题意。

当x≠2时，应有f(x)>0

f(-1)>0 解之得x3 。

故x 的取值范围为 (-∞,1),Y(3,+∞)。

注：一般地，一次函数f(x)=kx+b(k≠0) 在[α,β] 上恒有 f(x)>0的充要条件为 f(α)>0

f(β)>0。

例6.设不等式2x-1>m(x2-1) 对满足m∈[-2,2] 的一切实数m 恒成立，求 x的取值范围.

解：设 f(m)=(x2-1)m-(2x-1)则不等式2x-1>m(x2-1) 对满足m∈[-2,2] 的一切实数 m恒成立f(m)

当 -2≤m≤2时， f(m)

f(-2)=2(x2-1)-(2x-1)

2x2+2x-3>0