类比推理的题型分类解析

类比既是一种推理方法（类比推理是一种合情推理），同时也是一种学习方法，尽管由类比推理得出的结论不一定正确，但由于类比在寻找解决数学问题的方法和途径上以及发现科学奥秘方面更优于逻辑推理，特别是它在培养学生的发散思维和创新思维能力方面有其独特的作用.下面重点剖析类比常见题型.

一、概念类比型

例1（2013・澄海区模拟）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”.

（1）第5个三角形数是，第n个“三角形数”是，第5个“正方形数”是，第n个正方形数是；

（2）经探究我们发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.

例如：①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10，④，⑤，….

请写出上面第4个和第5个等式；

（3）在（2）中，请探究第n个等式，并证明你的结论.

分析：（1）观察发现，第5个三角形数等于第4个三角形数加上5，即为15，第n个“三角形数”等于第（n-1）个“三角形数”加上n，即为1+2+3+…+n，计算即可；第5个“正方形数”是52，第n个正方形数是n2；

（2）根据①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10即可得出第4个等式为第5个正方形数等于第4个三角形数加上第5个三角形数，第5个等式为第6个正方形数等于第5个三角形数加上第6个三角形数；

（3）第n个等式为第（n+1）个“正方形数”等于第n个“三角形数”加上第（n+1）个“三角形数”.

解析：（1）15，n（n+1）2，25，n2；

（2）25=10+15，36=15+21；

（3）（n+1）2=n（n+1）2+（n+1）（n+2）2，

右边=n2+n2+n2+3n+22

=2n2+4n+22

=n2+2n+1=（n+1）2=左边，

原等式成立.

点评：本题考查了整式的混合运算及规律型：数字的变化类，首先要观察出“三角形数”和“正方形数”的变化规律，再根据规律解题.

二、方法类比型

例2（2013・焦作模拟）请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a21+a22=1，那么a1+a2≤2.证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2=2x2-2（a1+a2）x+1，因为对一切实数x，恒有f（x）≥0，所以Δ≤0，从而得4（a1+a2）2-8≤0，所以a1+a2≤2.根据上述证明方法，若n个正实数满足a21+a22+…+a2n=1时，你能得到的结论为.

分析：由类比推理知识可构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+…+（x-an）2=nx2-2（a1+a2+…+an）x+1，由对一切实数x，恒有f（x）≥0，所以Δ≤0，即可得到结论.

解析：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+…+（x-an）2=nx2-2（a1+a2+…+an）x+1，

由对一切实数x，恒有f（x）≥0，所以Δ≤0，得a1+a2+…+an≤n.

故答案为：a1+a2+…+an≤n.

点评：本题先通过对已知结论类比得到结论的推广，再通过观察已知结论的证明方法来对推广的结论进行证明.本题既有结论的推广类比又包含证明方法的类比，如果类比结论产生错误，下面的证明也将产生错误.所以结论一定类比正确，再根据方法类比.

三、性质类比型

例3我们知道，在ABC中，记D、E、F分别为ABC的重心，则有结论：①；②.

分析：类比推理是由特殊到特殊的推理，本题中是将平面图形三角形与空间图形四面体进行类比，三角形三边的中点类比四面体四个面的重心，三角形中的比例2∶1类比空间图形中的比例3∶1.

解析：①在ABC中，三条中线AD、BE、CF相交于一点，类比到四面体ABCD中，应为四个顶点与对面重心连线交于一点，

即AG1、BG2、CG3、DG4交于一点.

②在ABC中，三条中线AD、BE、CF的交点即重心将中线分成2∶1两部分，类比到四面体ABCD中，应为四个顶点与对面重心连线交于一点，此点将对应线段分成3∶1两部分；故答案为①AG1、BG2、CG3、DG4交于一点；②此点将对应线段分成3∶1两部分.

点评：本题考查了合情推理的方法之一类比猜想，抓住平面图形性质与相应空间图形性质的异同进行类比推理，这是解决本题的关键.易错题型易错题型

概率解题典型错误类型及根源分析严曼丽

概率问题题型较多，解法灵活，解题过程中，容易因概念不清、忽视条件、考虑不周等因素而导致思维混乱，从而使得解题失误.本文就概率问题中常见的错误进行成因诊断供参考.

类型一：“非等可能”与“等可能”混同

等可能事件概率：如果一次实验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能的基本事件发生的概率都是1n，如果某个事件A包含其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P（A）=mn.

例1（2009江苏高考）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为.

错解：一次随机抽取2根竹竿长度相差的可能数值为{0.1，0.2，0.3，0.4}（单位：m），出现的长度之差等于0.3的只有一个，故P（A）=14.

错误分析：仅当所述的试验结果是等可能性时才成立，而所取数值0.1，0.2，0.3，0.4不是等可能的，出现长度相差0.3m有2种情况（2.5，2.8），（2.6，29），而出现的点数之差等于0.1有4种情况（2.5，2.6），（2.6，2.7），（2.7，2.8），（2.8，2.9），其它的情况可类推.

解答：抽取2根竹竿可能出现的情况：（25，26），（2.5，2.7），…，（2.5，2.9），（2.6，2.7），（2.6，28），（2.6，2.9），…，（2.8，2.9），结果总数为10种.

在这些结果中，出现的长度之差等于0.3含有2种情况（2.5，2.8），（2.6，2.9）.

P（A）=210=15.

类型二：“有序”与“无序”混同

例2从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率.

错解：因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种取法，第四次有7种取法，由乘法原理可知从10件取4件共有10×9×8×7种取法，故从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件含有10×9×8×7个可能的结果.

设A=“取出的4件中恰有1件次品”，则A含有C13×C37种结果（先从3件次品中取1件，再从7件正品中取3件），P（A）=C13×C3710×9×8×7=148.

分析：计算所有可能结果的个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序；而计算事件A所包含结果个数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序.

解法一：都用排列方法

所有可能的结果共有A410个，事件A包含A14・A13・A37个结果（4件中要恰有1件次品，可以看成四次抽取中有一次抽到次品，有A14种方式，对于每一方式，从3件次品中取一件，再从7件正品中一件一件地取3件，共有A14・A13・A37种取法）.

P（A）=A14・A13・A37A410=12.

解法二：都用组合方法

一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故共有C410个可能的结果，事件A含有C13・C37种结果.

P（A）=C13・C37C410=12.

类型三：“互斥”与“对立”混同

例3从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

（A）至少有1个白球，都是白球

（B）至少有1个白球，至少有1个红球

（C）恰有1个白球，恰有2个白球

（D）至少有1个白球，都是红球

错误答案：（D）.

分析：本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同.

要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：

（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；

（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；

（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生.

正解：（A），（B）不互斥，当然也不对立，（C）互斥而不对立，（D）不但互斥而且对立.

所以正确答案应为（C）.

类型四：“互斥”与“独立”混同

例4甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为07，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？

错解：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为A+B.

P（A+B）=P（A）+P（B）=C230.82×0.2+C230.72×0.3=0.825.

分析：本题错解的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑.将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和.

正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，两人都恰好投中两次为事件AB，则：

P（AB）=P（A）×P（B）=C230.82×0.2×C23072×0.3=0.169.

点评：两事件A，B互斥与A，B相互独立，这两个概念有何关系？A，B互斥，是B的出现必然导致A的不出现；或A的出现必然导致B的不出现，从而B出现的概率与另一事件A是否出现密切相关.

认为“两事件相互独立必定互斥”的认识是错误的.因为在P（A）>0，P（B）>0的条件下，若A，B相互独立，则P（AB）=P（A）・P（B）>0；而若A，B互斥，则P（AB）=0，两个概念出现矛盾，这就说明在P（A）>0，P（B）>0的情况下，相互独立不能互斥.

因此，在一般情况下，互斥与相互独立是两个互不等价，完全不同的概念.

本文总结了同学们易犯的四类错误，我们在教学的过程中，只要注意对这些错误作详细的分析，可减少在这些方面出现的错误.

（作者：严曼丽，江苏省盱眙中学）