模拟把关 展望数列

数列是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础，因此高考对这部分知识的考查比较全面，题型多变，其中解答题的难度较高. 纵观2008年高考，关于数列方面的命题主要有以下三个方面：一是数列本身的有关知识，主要有等差、等比数列的概念、性质、通项公式以及求和公式；二是数列与其他知识的结合，主要有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合；三是数列的应用问题，主要以增长率问题为主. 试题的难度有三个层次，客观题大都为低档题，解答题多以中档题为主，数列与几何、函数、不等式等知识相结合的综合性大题则难度较大.

[⇩] 知识梳理

1． 掌握数列（等差、等比数列）的概念、性质、通项公式及递推关系式.

2． 判断和证明数列是等差（等比）数列的三种常用方法：定义法、通项公式法、中项公式法.

3. 在等差数列｛an｝中,有关Sn的最值问题常用邻项变号法求解；也可视Sn为关于n的二次函数，通过配方求最值；还可利用二次函数的图象来求解. 在求解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用.

4. 数列求和的常用方法：应用公式（牢记几个常见数列的前n项和），拆项分组（几个数列的和、差），裂项相消（“裂”成某个数列的相邻两项，差后叠加），错位相减（适用于一个等差数列和一个等比数列的对应项乘积构成的数列），倒序相加等，要根据不同数列的特点合理选择求和方法（裂项法尤为重要）.

5. 体会函数思想、方程思想、分类讨论思想在解决数列综合问题时的应用.

[⇩] 模拟调研

1. 等差、等比数列的概念与性质

模拟题1（2008广东揭阳，易）在等比数列｛an｝中，a5・a11=3，a3+a13=4，则=（）

A． 3 B．

C． 3或 D． －3或－

简析因a5・a11=a3・a13=3，a3+a13=4，故a3=1，a13=3或a3=3，a13=1，所以=q10=3或，故选C.

高考题1（2008海南、宁夏，易）已知｛an｝为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a=____________.

点评 这两道题主要应用了等差、等比数列的“足数和定理”. 模拟题1重在转化，目的是消元；高考题1则是直接应用，整体代换，难度不高. 类似的题目必将出现在2009年的高考试卷中.

2. 数列的通项与求和

模拟题2（2008江苏，易）已知数列｛an｝的前n项和为S，且S=2（a－1)， 则a等于（）

A． 4B． 2 C． 1D． -2

简析当n=1时，有S1=2（a1－1），即a1=2（a1－1），解得a1=2；当n=2时，有S2= 2（a2－1），即a1+a2=2（a2－1），解得a2=4. 故选A.

高考题2（2008北京，易）已知数列｛an｝对任意的p，q∈N∗满足ap+q=ap+aq，且a2=－6，那么a10等于（）

A． －165B． －33C． －30D． －21

点评数列是自变量为下标n的函数，所以常与函数结合在一起进行考查. 模拟题2和高考题2解法的共同点就是把下标看成自变量，联系未知，结合已知，灵活应用赋值法. 同学们在学习时应加强从一般性中发现特殊性的训练. 另外，数列的函数特性仍然是2009年高考考查的一个重点内容.

模拟题3（2008山东济宁，中）已知数列｛an｝中各项为：12，1122， 111222，…，…那么

（Ⅰ）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积；

（Ⅱ）求这个数列前n项之和Sn.

简析（Ⅰ）an=（10n－1）・10n+・（10n－1）=（10n－1）・（10n+2）=

・

+1，记：A=，则A=为整数，所以an=A（A+1），得证.

（Ⅱ）因为an=102n+10n－，故Sn=（102+104+…+102n）+（10+102+…+10n）－n=（102n+2+11・10n+1－198n－210）.

高考题3（2008安徽，中）设数列｛an｝满足a1=a，an+1=can+1－c，n∈N∗，其中a，c为实数，且c≠0.

（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；

（Ⅱ）设a=，c=，bn=n（1－an），n∈N∗，求数列｛bn｝的前n项和Sn.

点评 求数列的解析式与前n项和是数列的两大基本应用，也是2009年高考必考的内容. 这类题先要通过观察，找出特征，求出数列的通项，再进一步求和. 模拟题3妙在首先巧妙分组，进而分而治之；高考题3则重点考查了分类讨论和错位相减的方法，在难度上有所提高. 此类题的难点在于求出数列的通项及求和方法的选择，需要同学们具有一定的观察和逻辑推理能力.

3. 数列与不等式的综合

模拟题4（2008湖北，难）已知数列｛an｝，｛bn｝满足a1=2，2an=1+anan+1，bn=an－1，数列｛bn｝的前n项和为Sn，Tn=S2n－Sn.

（Ⅰ）求数列｛bn｝的通项公式；

（Ⅱ）求证：Tn+1>Tn；

（Ⅲ）求证：当n≥2时，S≥．

简析 （Ⅰ）由bn=an－1，得an=bn+1，代入2an=1+anan+1，整理得－=1，因b1=a1－1=1，所以

是首项为1，公差为1的等差数列，故=n，即bn=.

（Ⅱ）因Sn=1++…+，所以Tn=S2n－Sn=++…+，Tn+1=++…+++，Tn+1－Tn=+－>+－=0，所以Tn+1>Tn.

（Ⅲ）因n≥2，所以S=S－S+ S－S+…+S2－S1+S1=T+T+…+ T2+T1+S1. 由（Ⅱ）知T≥T≥…≥T2 ，又因T1=，S1=1，T2=，故S=T+T+…+T2+T1+S1≥（n－1）T2+T1+S1=.

高考题4（2008陕西，难）已知数列｛an｝的首项a1=，an+1=（n=1，2，…）．

（Ⅰ）求｛an｝的通项公式；

（Ⅱ）证明：对任意的x>0，an≥－

－x（n=1，2，…）；

（Ⅲ）证明：a1+a2+…+an>．

点评 模拟题4和高考题4均考查了数列的相关知识和不等式的证明方法. 前者的第（Ⅲ）问可无中生有，把Sn巧妙裂项转化成Tn，再通过放缩变换进行证明；而后者难度较大，第（Ⅰ）问就需要构造等比数列. 数列与不等式的综合性试题必将在2009年的高考舞台上大显身手.

4. 数列与解析几何的综合

模拟题5（2008湖北，难）在直角坐标平面上有一点列P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）…对一切正整数n，点Pn位于函数y=3x+的图象上，且Pn的横坐标构成以－为首项，－1为公差的等差数列｛xn｝.

（Ⅰ）求点Pn的坐标；

（Ⅱ）设抛物线列c1，c2，c3，…，cn，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的顶点为Pn，且过点Dn（0，n2+1），记与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn，求：++…+.

简析（Ⅰ）xn=－+（n－1）×（－1）= －n－，故yn=3xn+=－3n－，所以Pn的坐标为（－n－，－3n－）.

（Ⅱ）因cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn. 故设cn的方程为y=ax+

－，把Dn（0，n2+1）代入上式得a=1，故cn的方程为y=x2+（2n+3）x+n2+1. 因kn=y′|x=0=2n+3，所以==

高考题5（2008福建，难）已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（，an+1）（n∈N∗）在函数y=x2+1的图象上.

（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；

（Ⅱ）若数列｛bn｝满足b1=1，bn+1=bn+2，求证：bn・bn+2＜b2n+1.

点评 模拟题5和高考题5均以解析几何为载体，涉及数列、解析几何的多个方面，如前者中Pn的横坐标是一个数列，后者中的点（，an+1）（n∈N∗）则在函数y=x2+1的图象上. 这类题的综合性和探索性较强，知识的交汇清新自然且难度较大，能有效地考查深层次的数学品质和数学综合素质，因而极易在2009年高考的高档题中出现.