特别聚焦:江苏高考数学

2008年高考江苏数学卷以《普通高中数学课程标准（实验）》为依据，紧扣《江苏省普通高中数学课程标准教学要求》以及《2008年江苏省高考数学科考试说明》的规定. 全卷围绕新课程的要求和中学数学教学的实际，多方位、多层次地考查同学们的数学基础知识、理性思维、对数学本质的认识、数学素养和学习潜能. 《普通高中数学课程标准（实验）》中的新增内容及传统的重点内容在试卷中得到了比较恰当的体现，具有较强的选拔功能.

一 试题的变化特点

与往年相比，今年的江苏卷发生了很大变化. 整卷只有填空题和解答题两种类型的试题，没有选择题. 其中填空题14道，占70分；解答题6道，占90分. 同时，主选物理的同学们需对试题中必做题和附加题两部分作答，主选历史的同学们只需做必做题.必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修系列2（不含选修系列1）中的内容以及选修系列4中4-1《几何证明选讲》、4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容.

另外江苏卷在试题难度的设置上不全是严格按从易到难的顺序排列，如第11题比第12题难，第17题比18题难. 就全卷而言，江苏卷变化的最大特点可用三句话概括：两“紧扣”（教材、考纲）中有变；两“贴近”（同学们、生活）中求新；两“体现”（公平、公正）中出彩. 下面笔者作简要的剖析.

1． 两“紧扣”中有变

今年的江苏卷紧扣教材、考纲，没有超纲题，也没有“”题. 不少题都是由课本中的例（习）题变化而成的. 如第2题是由苏教版教科书（下同）数学3（必修）第95页例3改编的；第13题是由数学5（必修）第24页习题6推广的；第15题是由数学4（必修）第108页练习题3拓展的. 另外，第3、5、7、10、11、16、17等题和教材中的相应章节例（习）题也有着密切的联系.

源于教材、高于教材、根在课本内、枝在课本外是高考命题的重要手段. 如第15题在课本题的基础上命题人员添加了三角函数定义，揉进了单位圆、三角函数线等基础知识，使得试题更具有知识的覆盖性，内涵更加厚重，更能凸显三角函数的本质. 再例如第13题在课本题的基础上，命题人员以三角形面积为载体，巧妙地将数学的主干知识与重要的数学思想方法――三角函数及其变换、函数思想、化归与转化思想、数形结合思想等有机地交融于一体，强调了知识内容和思想方法的融会贯通，突出考查了同学们的基本数学素养. 所有这些都充分体现了新课程的理念，顺应了新课程发展的要求和高考命题改革的方向.

2． 两“贴近”中求新

贴近同学们、贴近生活是对高考命题的要求，但要真正做到难度不小，而今年的江苏卷在这一方面着实迈出了可喜的步伐. 如第17题，主要考查函数的概念、函数的最值、解三角形与三角变换、导数及其应用等基础知识，同时考查了同学们的阅读理解能力、数学建模能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力. 命题人员以污水处理、环境保护这一目前社会普遍关注的热点问题为背景，以建造一个污水处理厂中最优化问题为载体设计实际应用问题. 试题的背景贴近同学们的实际生活. 题目叙述通俗易懂，建模能力的要求也符合高中同学们的实际水平.

另外在求新方面命题人员也匠心独具，首先本题的设问方式从单一封闭走向多维开放. 试题的第（Ⅰ）问，要求同学们根据所给两种不同的自变量建立函数解析式，降低了问题的难度；第（Ⅱ）问更是出新：“请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.”这种命题方式给了同学们自主选择的机会和空间，由同学们自己做主，从两个函数关系式中选择一个来解决问题，充分体现了新课程的选择性和以人为本的理念.

像这样意境厚重且贴近同学们的新颖题还有填空题的第9、14题，同学们既可用通性通法完成，也可利用长期积淀的数学素养简捷地解决.

3． 两“体现”中出彩

高考是一种选拔性考试，重要的是体现“公平、公正”. 今年的江苏数学卷在高考结束后，同学们、教师、高等院校普遍呼好的重要原因是充分体现了公平、公正，并在公平、公正中出彩. 如第20题虽是压轴题，但不刻意追求绝对难度，而是循序渐进、层层深入.

命题人员在命题时将考查的充要条件的探求以及指数函数、含绝对值函数、不等式的应用有机地结合在一起，充分体现了在知识的交汇处设计试题的命题思想；另外命题人员在命题时将考查的重点放在阅读理解能力及综合运用函数、不等式、简易逻辑等知识进行推理论证的能力上. 此题首先考查同学们数学语言的转译能力以及等价转化能力，事实上第（Ⅰ）问就是考查同学们对f（x）定义的理解，将问题等价转化为f1（x）≤f2（x）恒成立. 紧接着考查同学们对含绝对值函数的基本处理方法的掌握程度. 而第（Ⅱ）问的命题思路则是要求同学们把含绝对值的函数转化为分段函数后再结合函数图象，采用分类讨论、数形结合等数学思想解决问题. 总而言之，本题以函数的概念、性质、图象以及命题之间的关系为载体，重点考查化归与转化、分类讨论以及数形结合等数学思想. 试题不但根在课本内，而且回避各种复习资料，跳过各种模拟试卷，公平公正，新颖别致.

二 命题变化的趋势

赏析2008年高考试卷，展望2009年以及未来的高考命题走向，我们觉得高考命题将会进一步以纲为纲、以本为本，将会在求变、求新上做足文章. 特别会：

1． 更注重基础知识

试卷将十分重视对基础知识、基本技能和基本方法的考查，且基础题不会刻意回避同学们平时接触过的问题. 试题将关注对主要知识点的覆盖，对支撑学科知识体系的主干知识综合地进行重点考查. 估计解答题大多为多步设问，各个小问题将会层次分明、梯度合理，且解题关注通性通法，把关题的解法一般也不会单一.

2． 更体现课标要求

由于《普通高中数学课程标准（实验）》对中学知识的调整，新增了一些知识内容，构成中学数学的主干内容产生了变化，两数（函数、数列）、两式（三角函数式、不等式）、两率（概率、变化率即导数）、两线（直线和圆、直线和平面）将显得十分重要. 试卷将会对这些重点内容进行重点考查. 这些内容不仅会以填空题的形式出现，还会以解答题的形式出现，在试卷中将占有较大比重. 同时，试卷还会关注对三视图、常用逻辑用语、算法初步以及统计等新增内容的合理考查.

3． 更强化思想方法

数学思想方法是对数学知识在更高层次上的提炼与概括，是对数学规律的理性认识，是数学的灵魂. 预计高考对数学思想方法的考查将会贯穿于整份试卷之中. 填空题虽以考查数学基础知识、基本技能为主，但对数学思想方法的考查也会蕴涵其中. 解答题将会更深刻地体现出数学思想方法在考查创新意识以及综合能力中的地位与作用. 另外高考对数学思想方法的考查有可能既注重全面，又突出重点. 同一道题可能会涉及不同的数学思想方法，同一个思想方法在不同的试题中可能又有不同层次的要求.

4． 更关注数学应用

数学来源于生活和生产实践，又反过来为生活和生产实践服务. 能用数学的眼光观察生活、认识世界，从数学的角度提出问题、理解问题并综合运用数学知识和思想方法来解决问题，是每个高中毕业生应具备的基本数学素养. 为此，在注重三基的基础上，试卷将会进一步合理地设置一些取材于同学们生活、社会生活以及生产实践的试题，加强对同学们应用能力的考查. 可以肯定的是，未来应用问题的设置将会更加理性，将会更加关注数学的本质以及数学应用的实质，关注同学们数学建模能力和应用数学模型解决问题的能力.

5． 更突出能力立意

试卷将更突出能力立意，突出数学的本质，重视对同学们数学能力以及学习潜能的考查. 试卷将进一步关注对空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及创新意识和实践能力的考查. 在对能力的考查中，将坚持以思维能力为核心，多角度、多层次考查同学们综合运用知识解决问题的能力.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1． 若函数f（x）＝cosω

x－（ω>0）的最小正周期为，则ω=_______．

2． 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为_______．

3． 若将复数表示成a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b=_________．

4． 已知集合A=｛x|（x－1）2

5． 已知向量a与b的夹角为120°，且|a|=1，|b|=3，则|5a－b|＝___．

6． 在平面直角坐标系xOy中，若D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D内随机投一点，则落在E中的概率是________．

7． 某地区为了解70~80岁老人的日睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表．

[ii+1][开始][结束][S0][i1][输入Gi，Fi][i≥5][SS+Gi・Fi][输出S][N][Y][序号（i）\&分组

（睡眠时间）\&组中值

（Gi）\&频数

（人数）\&频率

（Fi）\&1\&[4，5）\&4.5\&6\&0.12\&2\&[5，6）\&5.5\&10\&0.20\&3\&[6，7）\&6.5\&20\&0.40\&4\&[7，8）\&7.5\&10\&0.20\&5\&[8，9]\&8.5\&4\&0.08\&]

在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为__________．

8． 设直线y=x+b是曲线y=lnx的一条切线，则实数b=____．

9． 如图1，在平面直角坐标系xOy中，设ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）是线段OA上一点（异于端点），a，b，c，p均为非零实数． 直线BP，CP分别交AC，AB于点E，F． 某同学已正确求出直线OE的方程：

－x+

－y=0，请你完成直线OF的方程：______x+

－y=0．

10． 将全体正整数排成三角形数阵：

1

23

456

78910

1112131415

………………

根据以上的排列规律，第n（n≥3）行从左向右第3个数是___________．

11． 设x，y，z为正实数，且满足x－2y+3z=0，则的最小值为_______．

12． 在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过点P

，0所作圆M的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率是_______．

13． 满足AB=2，AC=BC的ABC的面积的最大值是________．

14． 已知函数f（x）=ax3－3x+1（x∈R），对于任意x∈［－1，1］，总有f（x）≥0成立，则实数a的值为________．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.

15． （本小题满分14分）如图2，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是和．

（Ⅰ）求tan（α+β）的值；

（Ⅱ）求α+2β的值．

16． （本小题满分14分）如图3，在四面体ABCD中，CB=CD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的中点．

求证：

（Ⅰ）直线EF∥平面ACD；

（Ⅱ）平面EFC平面BCD．

17． （本小题满分14分）如图4，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处． AB＝20 km，BC＝10 km． 为了处理这三家工厂的污水，计划在矩形区域内（含边界）且与A，B等距的O点建污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO． 记铺设管道的总长度为y km．

（Ⅰ）按下列要求建立函数关系式：

（i）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；

（ii）设OP=x（km），将y表示成x的函数；

（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短．

18． （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）的图象与两个坐标轴有三个交点． 记过这三个交点的圆为圆C．

（Ⅰ）求实数b的取值范围；

（Ⅱ）求圆C的方程；

（Ⅲ）圆C是否经过定点（与b的取值无关）？证明你的结论．

19． （本小题满分16分）（Ⅰ）设a1，a2，…，an是各项均不为0的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若从中删去一项后，剩余各项（按原来的顺序）成等比数列．

（i）当n=4时，求的值；

（ii）求n的所有可能值．

（Ⅱ）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为0的等差数列b1，b2，…，bn，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．

20． （本小题满分16分）设函数f1（x）=3，f2（x）=2・3，x∈R，p1，p2为常数． 函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，f（x）=f1（x），若f1（x）≤f2（x），

f2（x），若f1（x）＞f2（x）.

（Ⅰ）求f（x）＝f1（x）对所有实数x都成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；

（Ⅱ）设a，b为两个实数，a

数学附加题

21． （选做题）在A、B、C、D四小题中只能选做2个，每小题10分，共20分．

A． 选修4-1：几何证明选讲

如图5，设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D． 求证：ED2=EB・EC．

B． 选修4-2：矩阵与变换

在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵2 0

0 1对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．

C． 选修4-4：参数系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值．

D． 选修4-5：不等式选讲

设a，b，c为正实数，求证：+++abc≥2．

必做题：每小题10分，共20分．

22．设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，记=λ． 当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．

23． 请先阅读：在等式cos2x=2cos2x－1（x∈R）的两边对x求导，（cos2x）′＝（2cos2x－1）′，由求导法则，得（－sin2x）・2=4cosx・（－sinx），化简得等式sin2x=2cosx・sinx．

（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），试由等式（1＋x）n＝C+Cx+Cx2+…+Cxn（x∈R，整数n≥2），证明：n［（1+x）n－1－1］＝kCxk－1．

（Ⅱ）对于整数n≥3，求证：（i）（－1）kkC＝0；（ii）（－1）kk2C＝0；（iii）・C=．