电磁感应中的“线框”问题探析

“电磁感应”是高考的热点问题，“线圈”是电磁感应考题中常见的“模型”之一，此类问题如何思考？结合实例，本文就该问题进行探讨，望能有助于教学实践.

一、题型例析

1.在外力拉动下线框匀速穿越有界磁场区域

图1

例1 如图1所示，光滑水平面上有一垂直于水平面的两个磁感应强度相同、方向相反的临近匀强磁场区，现用水平力F作用在单匝正方形导线框上，使其沿光滑绝缘水平面向右做匀速直线运动，已知每个磁场区的宽度和导体框的边长均为L，若线框进入左边磁场区的过程中拉力F做功的是（ ）W.

A.6W B.5W C.4W D.3W

解析 解决此类问题，首先要画出等效电路图，而等效电路图中的电源即切割磁感线的那部分导体，运用右手定则可以判断电动势的高低，继而完成等效电路图.本题中线框进入左边磁场区过程的等效电路图如图2所示，线框的两条边受到的安培力大小相等、方向相反，拉力F等于右边一条边受到的安培力，F1=F=B2L2vR.图3所示为线框进入右边磁场区过程的等效电路图，有两条边切割磁感线，相当于电源串联，同时左右两条边受安培力同方向，因此匀速直线运动，水平拉力大小F2=2F′=2・2B2L2vR=4F1；同理，如图4所示可以得到线框穿出右边磁场区过程的等效电路图，从图形中可以看出受力与图2的一致，拉力F3=F1=B2L2vR，根据三个过程的拉力大小，可以得到做功之比为1∶4∶1，继而可得整个过程做功为6W，选A.

图2 图3 图4

2.线框只受安培力穿越磁场

图5

例2 如图5所示，在光滑水平面上有一个矩形线框，先给其一个初动能Ek，使其沿着光滑水平面向右运动，经过宽度大于线框宽度的匀强磁场垂直于水平面.已知其进入磁场这一过程动能损失5Ek/9，判断其是否能够穿出磁场（ ）.

A.线框能完全穿出磁场，离开磁场后还有Ek/9的动能

B.线框能完全穿出磁场，离开磁场后还有Ek/3的动能

C.线框能完全穿出磁场，离开磁场后还有2Ek/9的动能

D.线框不能完全穿出磁场

解析 由初动能Ek，进入磁场这一过程动能损失了5Ek/9，还剩4Ek/9，得线框进入前和进入后的速度之比是

3∶2，假设可以完全出来，则磁通量变化量相同，线圈中流过的电量相同，运用微元法可以得到两次速度的变化量相同，进入前和穿出后的速度之比将是3∶1，即末动能是Ek/9，选A.

3.线框沿竖直方向运动穿越水平匀强磁场区

图6

例3 如图6所示，有一边长为L、质量为m，电阻为R的正方形线圈，下方距离h处有一磁感应强度为B宽度大于L的水平匀强磁场，现将线圈从静止开始自由下落，线框刚好一半进入磁场区时速度达到某一值v，接着匀速运动了一会.求：⑴线圈匀速运动阶段的速度v；⑵线框下面一条边进入磁场区域到上面一条边进入磁场区域的这一过程中释放的焦耳热Q.

解析 （1）抓住匀速运动这一平衡状态，建立平衡式B2L2vR=mg，得v=mgRB2L2；

⑵线框下落进入磁场区过程中有感应电流，继而才释放焦耳热，这个焦耳热怎么求？这个过程中电流是变的，所以求焦耳热应该从能量守恒的角度求解，这一过程重力势能转化为动能和焦耳热：

Q=mg（h+L）-12mv2=mg（h+L）-m3g2R22B4L4.

4.线框在匀强磁场中转动问题

例4 （2009安徽理综卷第20题）如图7甲所示，有一个矩形导线框abcd阻值为R，面积为S，水平放在磁感应强度为B的匀强磁场中，已知磁场方向与ad边垂直，且与导体框所在平面成45°角，O、O′分别是导体框ab和cd边的中点.现在如图7乙所示，将线框右半边ObcO′绕OO′逆时针90°.上述过程，导体框中流过的电量为（ ）.

图7

A.2BS2R B.2BSR C.BS2R D. 0

图8

解析 抓住变化前、后的状态，分析导体框的右半边（ObcO′）在未旋转前的状态如图8左图所示.整个回路的磁通量Ф1=BSsin45°=22BS；旋转90°后，穿进跟穿出的磁通量相等，如图8右图所示.可得整个回路的磁通量Ф2=0，明显磁通量是减少的.

减少量ΔФ=22BS.由几个规律综合可知，导线中通过的电荷量q=ΔΦΔt=nSΔBΔt.

二、方法归纳

1.法拉第电磁感应定律：感应电动势大小跟穿过这一电路的磁通量变化率成正比，即E=nΔΦΔt.注意E=nΔΦΔt一般用来计算Δt内产生感应电动势的平均值.

2.对于处于变化磁场中的电路，产生的感应电动势E=

nΔΦΔt=nSΔBΔt，式中S为回路面积.

3.动生电动势用E=BLv计算（LB，Lv且vB）.用于回路的部分导体做切割磁感线运动的情况.当速度v表示瞬时值时，得到的电动势E是瞬时值.

4.电磁感应现象中通过导体截面的电量q=IΔt=ΔФ/R， 式中R为回路的总电阻.

5.解决电磁感应与电路综合问题的基本方法：首先明确其等效电路，然后根据电磁感应定律和楞次定律或右手定则确定感应电动势的大小和方向，再根据电路的有关规律进行综合分析计算.

6.导体切割磁感线或磁通量变化过程，在回路中产生感应电流，机械能转化为电能.电流通过导体受到安培力作用或通过电阻发热、电能转化为机械能或内能.因此电磁感应过程总是伴随着能量的转化.利用能量守恒定律解答电磁感应中能量问题，快捷方便.