基于认知负荷理论下的对数概念教学的探讨

【摘要】从本三个方面详细讲解对数概念的教学方法，让学生承受的内在负荷与外在负荷降低，增加其相关认知负荷，从而更好地掌握对数概念，并有效地运用对数概念解决数学问题。

【关键词】对数 概念 认知负荷 图式建构。

【中图分类号】G【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）06B-0072-03

对一个数学概念的学习，并不仅仅在于能记住它、表达出它的定义、认识它的代表符号，而且要真正能够理解和把握它的本质属性，并能运用它来解决问题。对数函数是高考的一个热点。对数概念掌握不好，将会直接影响到学生对很多与对数函数有关的题目的理解和把握，导致各种的错误的发生。所以说对数概念是数学的一个基本而又重要的概念。本文将围绕对数概念的讲解策略，从对数概念的应用等方面对对数概念教学进行探讨。

一、问题的提出

高三的同步训练中有这样一道题：

函数的定义域是（ ）

A.（1，2）∪（2，3） B.（-∞，1）∪（3，+∞）

C.（1，3） D.[1，3]]

解答过程如下：

由解之得，故选 A

这道题的考查目的就是为了让学生熟练掌握函数的定义域的求法，把握好基础知识，但结果答对的只有少数几个，相当多的学生根本不知道怎么入手，看见log就头痛，20%的学生的答案为C。最后，很多学生对解答过程提出问题：可以理解，那是因为真数要求大于0，但为什么还要这个条件？若把题目换成求函数的定义域，大部分的学生马上可以回答是。这时候才有同学醒悟过来，原来还要考虑分母不为0。可为什么是≠1？只有极少的学生知道原因所在。

高三了，仍有相当多的学生对对数的定义和性质掌握不好，理解肤浅，有的甚至连最基本的对数和指数的互化都不懂。其他班的情况也好不到那里去。在普通高中里，这种情况不是一届两届学生的问题，而是我们在数学教学中一直都头痛的问题。那么，我们的对数概念的教学应该如何进行才能让学生理解并掌握呢？

对数概念是数学的一个基本而又重要的概念。对数概念掌握不好，将会直接影响到学生对对数函数的理解和掌握，影响到很多与对数函数有关的题目的理解和把握，导致各种错误的发生。而且，对数函数是高考的一个热点，通常以选择题或填空题的形式考查对数函数的图象和性质；或者与不等式等其它知识相结合，出现在解答题中。但我们知道，学好一个数学概念，并不仅仅在于能记住它，把它背下来，能表达出它的定义、认识它的代表符号，而是要真正能够理解和把握它的本质属性，弄清它的内涵和外延，并能运用它来解决问题。而这一点，也正是学生要学好数学的原因所在。

在高一的课程中，首先安排了对数概念和对数的运算法则的教学和学习，然后再安排对数函数的教学和学习。分步教学，逐层加深。而“对数”这个概念对高一的学生而言，是个陌生而且抽象的东西，首先在心理上就对它产生了排斥；再次对新概念不理解，导致对性质、公式的不理解，加上运算能力差，怕麻烦，对对数的计算不耐心，产生放弃的心理。因此，相当多的学生在遇到对数时，情愿放弃也不愿多思考，多总结，多练习。一而再，再而三，也就忽视了对这个概念的理解，导致遇到对数就避开，积累下来，问题就更难以解决了。本文将围绕对数概念的讲解策略结合自己的经验对对数概念教学进行一点探讨。

二、对数的讲解策略

学生对概念的学习就是一个对概念的认知过程。从认知理论上来说任何教学都会引起三种认知负荷。澳大利亚心理学家J.Sweller等认为“认知负荷就是将特定工作加在个体认知系统时所产生的负荷量”。认知负荷包括内在认知负荷、外在认知负荷和相关认知负荷三种基本成分。内在认知负荷是指由于元素间交互形成的负荷，内在认知负荷取决于所要学习的材料的本身的难易程度和复杂性与学习者的原有的知识水平之间的交互，教学设计者不能对它产生直接的影响但可以进行控制；外在认知负荷是超越内部认知负荷的额外负荷，它与不合理的教学设计、教材的呈现方式和教学活动的组织有关，也称为无效负荷或无关负荷。能通过教学内容的重组和设计进行调整，降低额外负荷量；相关认知负荷是指与个体主观领域相关的信息，指个体在图式建构和自动化过程中所投入的认知资源的数量，它与个体的认知努力有关，提高学生个体的相关认知负荷，可以引导学生利用剩余认知资源进行深层次的图式建构，将知识存于长期记忆中，降低工作记忆的负荷量。由于内在认知负荷、外在认知负荷和相关认知负荷具有叠加性，且三者之和不超过工作记忆总的负荷量，若超过工作记忆所能接受的范围，就会产生焦虑、压力和烦恼，并影响学习的绩效。因此，对于每一个教学内容，若想要获得好的学习效果，则对该教学内容的设计和活动的组织必须考虑到这三种认知负荷，使学生所承受的总负荷量不超过其工作记忆的总负荷量。对于对数概念的教学，首先要引入得当，对教学设计要合理，这样就会让学生承受的内在负荷与外在负荷降低，增加其相关认知负荷。下面将从这三个方面具体谈谈对数概念教学的一些体会。

（一）充分考虑教材的特点、学生的知识水平和接受能力的交互作用，控制内在负荷量的增加

我们可以先从一个比较常用的问题出发，在讲对数的概念之前，先举一个利息计算的问题的例子。如，你手头有5万元，存进银行，每年的利率为2.25%，试计算需要多久，连本带利共有10万元？

这是发生在学生的生活当中一个常见的问题，是他们所熟悉的感兴趣的问题，因而会激起学生强烈的好奇心。而且这与所学过的指数运算有关，通过这样一个平台，降低学生所承受的内在负荷与外在负荷。再因势利导，引导他们积极思考问题“应该怎样去解决这个问题呢？”因而可以这样分析：

根据题意，我们可以利用方程的思想，由“求什么就设什么”，可设需要x 年，连本带利共有10万元，则可列出式子

5×（1+2.25%）x=10

化简得 1.0225x=2

对于这个指数式，相当多的学生是既熟悉又陌生的，若方程是2x=8，由于23=8，他们可以得出答案为x=3，因为2x=8=23，可求出x=3，但是1.0225x=2中，这个底数1.0225与右边的2不像2和8那样具有这种明显的指数关系，因而要解决这个问题，就得另辟捷径了。

在解决这个问题之前，我们可以先复习这样一个问题：若2+x=6，怎样求出x？这是小学生也能回答的问题。即x=6-2，x=4。提出x+2=6是加法，而求出x时，x=6-2=4所运用的是减法，那么加法和减法有什么关系？学生都可以回答是互为逆运算，进而可以提出，互为逆运算，可以解决加减法的计算问题，同样的，它也可以解决乘除法的计算问题，那么，它能否解决指数的计算问题呢？

通过这个问题的提出，给学生指出了一条解决问题的路径，那就是找到指数运算的逆运算。但是它的逆运算是什么呢？此时，我们可以告诉学生，这就是我们将要学习的新内容――对数。

通过这样的一个课前引入，让学生在接触到新的概念之前，就已经有了一个强烈的感知，他们要学的是指数运算的逆运算。减轻他们对新概念的排斥力，从心理上给他们吃下一颗定心丸，降低他们认知的无关负荷，增强他们有效的相关认知负荷。

（二）合理设计教学过程，降低无关负荷对学生的知识的图式建构和记忆的负面影响

那么，什么是对数呢？引进课本的概念，若a（a>0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b叫做以 a为底N 的对数，记做lagaN=b，其中 a叫做对数的底数，N 叫做真数。

其中“log ”是对数（logarithm）的符号，是对数的拉丁文logarithm的缩写，与“+”“-”的作用相当。说明了“log ”的作用和来源，减轻了学生对它的恐惧感，增加了学生对对数的理解和认识。这样，有助于降低外在负荷的影响，增强有效负荷的承受力。

由于概念中是直接由指数式ab=N定义对数式lagaN=b 的，那么这两者之间的关系必然密不可分，这就让学生不由自主地回忆起刚才的第一个认识――它们是互为逆运算。再引导学生观察指数式ab=N和对数式lagaN=b这两个式子，看看对应的字母的位置有什么变化？

在此过程中，教师的作用仅在于引导学生观察和分析，让学生在观察和分析的过程中建立自己对知识的图式建构，内化为自己的知识。

然后，通过让学生自己观察、填空，分组讨论得出以下问题的结论。

（1）42=16 log4（ ）=2

（2）log42=（ ）

（3）102=100log（ ）100=2

（4）m-2=n logm（ ）=-2

（5）log525=25（ ）=25

（6）4-2=（ ）

（7）log1010000=4（ ）4=10000

（8）loge10=2.303e（ ）=10

通过图形中字母的位置的变化，巩固学生自己建构起来的知识网络，增强有效的相关认知负荷；也可以通过图形中字母的位置的变化，明确指数运算和对数运算这两个逆运算之间的变化规则，并用于实际计算中。通过这样数形结合，加强学生的感性认识，掌握指数式和对数式之间的互化的规律，达到掌握概念的目的。然后，因势利导，引进常用对数（以10为底的对数）和自然对数（以 e为底的对数）的定义，分别简记为lg N和lnN。

利用表格将指数式的一些性质列出，让学生对应找出对数式的性质。

学生通过此表格，可以利用指数式和对数式之间的互化，将loga1=0，logaa=1写出，进而用文字将“零和负数没有对数”，“1的对数为0”，“底数的对数为1”这几个性质总结出来。

基于大脑皮层的结构和人脑的认知结构，人脑对图形语言所反馈的信息的接受力比对文字叙述所反馈的信息的接受力要强得多。利用图表来建构数学知识，直观形象，使学生更利于理解和接受，然后内化为自己的更深层次的图式建构，将信息存于自己的长期记忆中。这对增强学生的有效认知负荷，降低无关负荷的影响，使工作记忆总负荷量达到平衡起到极为重要的作用。

通过图表的类比策略，不仅帮助学生复习旧的知识，还通过新旧知识的迁移，达到学习新知识的目的。多个类比源多次类比，有助于学生形成更为抽象的图式，它可以增长学生的类比经验，帮助学生形成感知知识结构的思维倾向，更好地提取信息的一般规律，用于解决不同表征的问题，降低学生的无关负荷的影响力。

另外，学习环境也影响着学生认知负荷的构成，创设一个良好的学习环境，让学生伴随着感知、聆听、观察、思维、陈述等认知过程的介入，以及信心、兴趣、成功或失败等情感因素的介入，可以有效地降低无关负荷的影响，增强有效的相关认知负荷。因此，可以在课堂上组织学生进行分组讨论，合作学习，将学习的主动权交还给他们自己。这样不仅促进学生的自主思考，而且通过相互间的交流，锻炼他们的表达能力和团结协作的精神，这要比教师唱独角戏要有效得多。

（三）精选例题，巩固概念，通过对概念的初步感知，将学生建构的概念的图式存于长期记忆中，降低工作记忆的负荷量，不超出工作记忆所能接受的总负荷量。

总而言之，我们要加强对数学概念教学的研究，合理运用各种教学策略，遵循学生的思维方式和认知特点把复杂的概念简单化。运用学生熟悉的情景教学，举例示范，变抽象为具体，能有效降低学生的内在与外在无关认知负荷。让学生多观察，多思考，提炼自己对知识的图式建构。多分析概念中的关键词，帮助学生弄清楚概念的内涵与外延，增加有效的相关认知负荷。从而激发学生的学习兴趣，促进学生自主学习，提高课堂效率。

【参考文献】

[1]陈巧芬.认知负荷理论及其发展[J].教育技术学报，2008（9）

[2]喻平.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2010

【作者简介】黄静（1981- ），女，本科，中教一级，毕业于广西师范大学数计学院，现就职于玉林高级中学。

（责编 卢建龙）