解三角形“六感”

第一感 知二明三，直白简单

如果你没有iphone，那么你就真的没有iphone．

初次看到这句手机广告语，实在为它的如此直白而感到好笑．后来细细品味，还是感觉到这句直白背后所藏着的涵义：iphone是一款手机，是一种为你的生活带来新发现的工具，更甚至是一种文化．直白，简单――在它们的背后往往藏着一份深邃．

在解三角形时，我告诉我班的学生：在一个三角形中，如果我知道了两个角的大小，那么我就知道了三个角的大小．

很多同学先楞，再笑，后思考．

我认为三角形中最简单的一个关系是A+B+C=π．这也是我说出上面的话的理论依据．在我见到条件“ABC中，已知A=π3， B=5π12”时，我的脑袋里就已经出现了另一个角的大小C=π4．这就叫知二明三――知道了两个条件，就能简单地知道另一个小结论．这样，解题时我们就又多了一个条件．虽然，这个条件不一定在后面的问题中一定需要．

看看这个问题：

ABC中，已知角A=π3， B=5π12，且边a=2，则边c的大小为 ．

我的理解是：既知两角，便知三角；又有一边，显然结合正弦定理解之即可．

更多的时候，直白简单地思考，是一件好的事情．比如，在求三角函数y=sin2x－cos2x的周期时，直白的思考让我想到化简后的函数式必然与角2x有关．所以，我不再做任何运算，而会直接告诉你：它的最小正周期是π．不过，不太熟悉此题的同学，还是请你验算一下.

第二感 三个定理，直截了当

有时，我会坐在窗前，听雨，发呆．我的学生，也会经常坐着发呆，这时他的面前可能摆着一道解三角形的题目．我会觉得这样的同学呆得有些可爱．

解三角形，不就是对三个定理的运用吗？不就是求求角度、长度与面积吗？

就是这样，解三角形就是对正弦定理、余弦定理，还有勾股定理的运用；就是求求三角形角的大小，求求边长和面积的大小而已．

可爱的同学，你在发什么呆？是没有找到解题的路子吗？那就从这三个定理下手吧！试试看：

在ABC中，内角A， B， C的对边长分别为a， b， c，已知a2－c2=2b,且sinA

我会这样做：

在ABC中，sinAcosC=3cosAsinC,看到sinA与sinC,想到用正弦定理，变形后得sinAsinC•cosC=3cosA.再由余弦定理，利用已知条件得b=4，或b=0（舍）．

事实上，题目还是比较简单的．但是，如果你没有这样想，而是过多地关注两角和与差的正弦公式，甚至还想用现在已经不需再用的积化和差公式来解决，那你是在自寻烦恼了．

解三角形，本来就是一件直截了当的事情．不要想太多，定理可以直接用.当然，你要理解这三个重要定理中表达式的结构与变形，例如，正弦定理刻画了三角形的边、正弦之间的比例关系，余弦定理与勾股定理类似，与边的平方和有关，所以见到“a=2bsinA”就要想到正弦定理，见到“a2+b2－c2－ab=0”就要想到余弦定理．也许这样的直接，并不能让问题的解决最简单最完美，但是，至少你能开始去解决问题，一切就是这样！

就是这样，This Is It！――流行音乐天王迈克尔•杰克逊生前最后一次演唱会彩排，未能如愿的伟大音乐会，在告诉我们：有些事，就是这样！

第三感 边角互化，彼此呼应

其实，正弦定理、余弦定理，还有勾股定理，它们都在努力地帮咱做着一件重要的事情――把边的关系化成角的关系，或是把角的关系化成边的关系．这一点，有些“落红不是无情物，化作春泥更护花”的味道．

边没了，角独立存在，问题简单了；或是角没了，只有边，问题明朗了．一个角色的消失，或许是会为了一份成功做些力所能及的事情；看来，这护花春泥绝非无情！

看看吧：

在ABC中，已知a=2bcosC，求证：ABC为等腰三角形．

可以这样做：

因为a=2bcosC，所以由正弦定理得2RsinA=4RsinBcosC（其中R为ABC的外接圆半径）， 所以2cosC•sinB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC． 所以sinBcosC-cosBsinC=0，即sin(B-C)=0.又B， C是三角形的内角，所以B=C，即ABC为等腰三角形．

题中，边a， b就像“落红”一般化为春泥，消失了，徒留角绽放枝头，而角的独角戏却又唱得如此简洁．那只有边的表演，会是什么样子的呢？你自己试试看吧.

也许谁为“落红”已不再重要，角也好，边也罢，“落红”不是目的，化作春泥也只是个过程，重要的是如何在问题面前能绚烂地绽放出美的果实．哪天，两只红花同傲于枝头，不也更美吗？

第四感 多角化一，统一美好

无论是边的落幕，还是角的登台；无论是角的凋零，还是边的绽放，一切都是为了一个美好的结局．有些事，本来就是这样．不需要复杂的思考，没有复杂的想法，统一的目的使得问题很简单．

三月桃花浪似江，弟兄结义报家邦．

桃园这一拜，三人自此便同心同德，共赴大业！思想的统一，会把目的变得明确，把事情变得简单．一个三角形的三个角恰好似刘关张，兄弟齐心共伟业，三角化一求明朗．所以，把三个角的问题向一个角上转化，问题会变得简单明了起来．看看这道题吧：

设锐角三角形ABC的内角A， B， C的对边分别为a， b， c， a=2bsinA．

(1) 求B的大小；

(2) 求cosA+sinC的取值范围．

先根据正弦定理，用好条件a=2bsinA，求得角B的大小．在把三个角转化到一个角上，结合三角函数的性质，式子的范围也就好求了．

可以这样解：

(1) 由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以sinB=12．

由ABC为锐角三角形，得B=π6．

(2) cosA+sinC=cosA+sinπ－π6－A=cosA+sinπ6+A

由ABC为锐角三角形知，π3

孰为刘备？角A！关羽张飞在背后支持刘大哥，角B、角C也是一样．题中，角A消失，由角C来算，也是一样达到最终目的的！谁走谁留，又有何分别呢？毕竟：滚滚长江东逝水，浪花淘尽英雄．古今多少事，都付笑谈中．

第五感 化切为弦，一个“化”字

歌曲唱得好：就让这擦干又流出的泪水，化作满天相思的雨……

为什么非要把这泪水化作滂沱或是绵绵的相思雨呢？这样才能告知天下你的那份情那份爱吗？真如此，何一个化字了得？

化切为弦也同化泪为雨一样吗？同，也不同吧．同，都是为了达到某种目的；不同，是各自的目的不同罢了．化切为弦要尽量把不好直接解决的问题化得简单明了，这就是化的真实想法．比如：

在锐角三角形ABC， A， B， C的对边分别为a， b， c， ba+ab=6cosC，

则tanCtanA+tanCtanB= ．

tanCtanA+tanCtanB=sinCcosC•cosBsinA+sinBcosAsinAsinB=sinCcosC•sin(A+B)sinAsinB=1cosC•sin2CsinAsinB.由正弦定理得sin2CsinAsinB=c2ab.又由ba+ab=6cosC，运用余弦定理得a2+b2=3c22.可得所求结果为4.

泪水非要化为相思雨吗？泪往心里流不也是一种相思吗？切非要化为弦吗？不化也行：

考虑当A=B或a=b时满足题意，在此特殊情形可得所求值为4.

相思雨会化为泪水吗？曾见到有人这样说：就这样，让雨化作泪，拢了一弯如烟的轻愁，让思念在一场如丝的湿意中淡去吧！看来，化弦为切也未尝不可，你不妨找一找这样的例子.

其实，无论是知二明三、运用三个定理，还是边角互化、多角化一、化切为弦，都是为了“化繁为简”，这是数学的真谛！多多领悟这4个字，领略数学的简单之美，提高数学的审美直觉，数学学习一定没有问题！

不禁要问，世间直觉为何物？

第六感 运用直觉，灵机一动

贾宝玉第一次见到林黛玉时，开口说的第一句话便是“这个妹妹我曾见过！”而黛玉也正心里嘀咕：“好生奇怪，倒像在哪里见过一般，何等眼熟到如此．”这似曾相识的感觉，就是所谓的一种直觉吧．这种直觉更多的体现于这一份经典的情感上．

我的学生面对一个个问题，在我帮他解决问题时，他会问我：老师，你是怎么想起来的？

我会回答：直觉吧．

而我的这种直觉可能更多地来自对数学的“术业专攻”，我思考要比你专，我训练要比你多点而已．多做，多思，多总结；感觉会有的，直觉也会有的．

我能秒杀函数f(x)=0的奇偶性；秒杀三角函数f(x)=sin2x－π4－22sin2x的最小正周期；秒杀指数函数f(x)=0.2x的单调性；秒杀对数log0.34的正与负；秒杀函数f(x)=x+1x的所有性质……

你能吗？能．

直觉吗？或许是吧，但更是训练后所得的经验吧．多加训练，有一天，你会更加相信自己，相信自己的直觉．

直觉思维，是指对一个问题未经逐步分析推理，仅依据内因的感知迅速地对问题答案作出直接的判断、猜想、设想，或者在对疑难百思不得其解之中，突然对问题有“灵感”和“顿悟”，甚至对未来事物的结果产生“预感”或是“预言”等．直觉思维是一种心理现象，它在探索解题思路以及创造性思维活动的关键阶段，起着极为重要的作用．并且直觉思维是完全可以训练和培养的，直觉思维的能力也会在训练中得以提升．不过需要注意的是，即使是著名数学家，他的数学直觉比常人强，也不完全正确，需要在借助直觉找到方向和思路后，通过推理和计算加以验证.

既然，直觉是客观存在的、有益的，那么，我们就要有意无意地关注它的存在，并为己所用．说不定，你还能找到你的第六感呢！

这正是：

知二明三本直觉

正余定理在眼前

边角互化求容易

多角化一为简单

化切为弦泪和雨

运用直觉建数感