基于可控滤波器的自适应各向异性扩散方程与图像去噪

[摘 要]各向异性扩散方程在去除图像噪声的同时能有效保持图像边缘，在图像处理中有广泛的应用。然而，经典PM模型会产生阶梯效应。为了解决这个问题，本文提出了基于可控滤波器的自适应PM模型。由于可控滤波器能有效刻画图像边缘，基于该滤波器构造了新的扩散系数，从而使得PM模型能够自适应扩散，有效避免阶梯效应的产生。在真实图像以及合成图像上的实验表明，新模型在除去噪声的同时，能够保持图像边缘，也能避免阶梯效应的出现。

[关键词]图像去噪，各向异性扩散，可控滤波器，阶梯效应

中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）30-0373-01

图像是一种重要的信息载体，和声音文字相比，图像更加直观形象，因此有一图胜千言的说法。随着各种电子成像设备的迅速发展，图像已经渗透到我们生活的个各方面，例如医学图像、遥感图像、移动视频、人脸虹膜图像、光谱图像等等。但是由于图像获取传输过程中噪声的干扰，会影像图像的视觉效果并对后续的分析和理解带来干扰。因此，图像去噪是图像处理中一个最基础的问题。噪声去除和保护图像边缘的细节是一对矛盾，平滑噪声的同时一些边缘等细节信息很容易遭到破坏，而边缘锐化的时候又会增强噪声。这是因为图像的噪声和相关的细节信息都是属于信号中的高频部分，很难被区别开来。因此，图像去噪的处理是图像处理领域中一项重要而又艰难的工作，无论是对于图像质量的提高还是对图像进行进一步的处理都有重要意义。

1990年Perona 和 Malik提出了各向异性扩散方程，该模型采用非线性算子代替传统的拉普拉斯算子，从而在去除图像噪声的同时也能有效保护图像边缘，开辟了偏微分方程在图像处理中的应用[1]。该模型由一个关于图像梯度模值的扩散函数控制，使图像在小梯度处进行大规模的扩散，在大梯度处进行小规模的扩散，从而提高了模型保护图像边缘的能力。基于偏微分方程的各向异性扩散的图像去噪方法在PM模型提出后大量涌现[2]，包括各向异性扩散的数学性质，改进的各向异性扩散方法，以及各向异性扩散和其他方法相结合的方法研究。PM模型虽然可以达到较好的去噪效果和边缘保护效果，但在数学理论上该模型是一个病态方程，当模型中的参数设置不适当的时候，可能会导致模型产生一个完全不同的结果。而且在同一个初始条件下，方程会产生多个解。Catte等人通过引入高斯核函数对梯度的模值进行正则化，得到一个稳定的PM模型，该模型存在一个唯一解。但是该方法的边缘保护能力仍然有限。于是Weickert引入了扩散张量的概念并提出了各向异性的相关扩散方程，使得图像在梯度方向的扩散速度大于在边缘方向的扩散速度[3]。Tschumperle分析了相关扩散模型和拉普拉斯扩散模型关系[4]。在边缘处尽量减轻平滑的作用，以此获得对边缘的保护是PM方程的核心思想。但是这种策略方法并没有获得非常好的效果，许多弱边缘却被模糊了，同时严重的阶梯效应也出现在平滑区域。随后，Rudin和Osher提出了基于全变分（Total Variation： TV）思想的去噪方法[5]。TV模型是基于有界变差的偏微分方程去噪模型，它通过对图像的平滑程度和对原图像的逼近程度的各自约束引入能量函数，逐步将图像的去噪的问题转换成泛函求极值的问题。由于该模型是一个凸函数，存在唯一解，在稳定性方面也优于PM模型。虽然总变差模型能够达到很好的边缘保护能力，但是该方法仍然具有二阶扩散模型所共有的缺点：阶梯效应。所以，随后出现了大量的改进的TV模型[6]。由于明显的阶梯效应在二阶偏微分方程处理得到的结果图像中容易产生，且不仅会产生较差的视觉效果，而且会使得在后续图像处理工作中对图像理解和分析出现误判断的情况。大量的学者为了解决该问题便提出了高阶偏微分方程的去噪模型[7，8，9]。其中，You和Kaveh提出了YK模型[10]，该模型是基于基于四阶偏微分方程的。模型首先定义了一个关于图像灰度的拉普拉斯能量方程，通过对该能量方程进行最小化，得到图像的平滑去噪效果。四阶偏微分方程作用是将图像转化扩散成一个局部区域里的拉普拉斯值等于零的图像，即将要处理的图像扩散成分片的平滑的斜面，这样阶梯效应可以有效的在平滑区域中得到避免。但边缘处的很多“斑点效应”却出现在YK模型扩散得到的结果中。这种出现的斑点型噪声虽然在扩散处理过程结束后通过后续图像处理来去除掉，但仍会给整个处理过程带来了额外的负担。

由于可控滤波器能够有效刻画图像边缘，采用可控滤波器的局部能量作为边缘检测算子，并由此构造新的扩散系数，新的模型在平坦和斜坡区域表现为各向同性，从而避免了阶梯效应的产生，而在边缘区域则表现为各项异性的扩散方式，有利于保护边缘，防止细节的丢失，有效克服阶梯效应的影响。合成图像和真实图像上的实验以及与其它方法的比较结果表明这一策略是有效的。

参考文献

[1] P. Perona，J.Malik.Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[J].IEEE trans Pattern Analysis and Machine Intelligence， 1990，vol.12，no.7，pp：629-639.

[2] Yuanquan Wang，Jichang Guo，Wufan Chen and Wenxue Zhang， Image denoising using modified Perona-Malik model based on directional Laplacian，Signal Processing， Volume 93，Issue 9，September 2013， Pages 25482558

[3] J. Weickert，Coherence-enhancing diffusion filtering[J].International Journal of Computer Vision，vol.31，1999，pp.111-127.