三锥四柱铺满体

立体几何在高中阶段是重要的一个环节，在历年高考中占有不少的分量。中学立体几何主要研究点、线、面、体的各种位置关系，并且要突出基本几何体：三棱锥、正四面体、正方体等的熟练应用，使学生关于空间模型的认知结构逐步丰富起来，在遇到新问题时，能迅速从复杂图形中识别出基本模型，并一层层剥离开来，用于解决问题。那么，如何使学生达到这一高度，是摆在我们广大数学教师面前的一大难题。实际上，我们如果能在某些方面作出一点研究的话，这一类思维的提升将成为可能。

是否有此感觉：在反复观察某些立体图形时，有过似曾相识的感觉。正是由于这种感觉，在脑海里形成的固定模型给你指明了解题的方向。三棱锥及四棱柱的模型构造，在解决立体几何问题上尤为突出。以下是笔者的浅薄之见，以便于同行探讨。

一、棱锥

三棱锥是几何体中一种最基本的模型，它由四个点构成：四点不共面，任三点不共线。此空间几何体又是最简单的模型，因此在教学过程中，注意以三棱锥即四面体作为依托，来解决一些几何问题。

（一）一般三棱锥

在各类考试中，经常以三棱柱、四棱柱、四棱锥作为载体来考查几何体的体积、点到面的距离等。如果单纯从现有的几何体上入手，有时会理不出解题思绪，此时应考虑能否提炼出一个简单的几何体――三棱锥。

（二）特殊三棱锥

经常碰到的特殊三棱锥有：正四面体、四个角均为直角三角形的三棱锥、三个侧面两两垂直的三棱锥等。如果我们在平时的教学中能有效地研究利用它们，将会得到意想不到的收获！

1.正四面体

正四面体，如同平面几何中的正三角形，是立体几何中最常见的基础四面体。正四面体的主要特征都集中在它的对称面上。正由于它的特殊之处，所以在各类考试中出现的几率也比较大。

2.四个面均为直角三角形的三棱锥

例5.在四面体的四个面中最多有 个直角三角形。

分析：最多4个直角三角形。它的构造实际上就是三垂线定理及逆定理的应用（如图）。三棱锥P－ABC，PA平面ABC，∠ACB＝90°，则结合三垂线定理可得，四个面均为直角三角形。

评注：平时要注意观察和总结，才能立于不败之地。

例6.已知平面α∥平面β，直线l?奂α，点P∈l，平面α、β间的距离为a，则在β内到点P的距离为c，且到直线l的距离为b（a

A.是一个圆

B.是两条直线

C.不存在

D.是四个点

分析：面面距离转化为点P到面β的距离PA＝a，距离c转化为两平行直线l、m之间的距离PB，即PBm，在直线上取C，使PC＝c，可构造三棱锥P－ABC，四个面均为直角三角形。从题意可知，可得到满足要求的四个三棱锥，又四个三棱锥正好拼成一个四棱锥P－C1C2C3C4（如图），而C1、C2、C3、C4就是所求点。故答案为D。

评注：注意将题目简化，不要被题目束缚，这是解决本题的关键！

3.三个侧面两两垂直的三棱锥

三个侧面两两垂直的三棱锥，可在实际生活中找到相匹配的实物，即用平面去截墙角得到的四面体，故也称为“墙角问题”。教室的墙形成的空间图形，也就是长方体的局部，这成为历年高考的热门话题。此类三棱锥的构造主要是结合长方体来研究的，下面将有相应的涉及。

二、四棱柱

四棱柱是立体几何中经常出现的载体之一，比如正方体、长方体等特殊的四棱柱的利用更是繁多，因此，如何很好地认识和利用它们，是我们解决立体几何的首要问题。

1.正方体

例7.正四面体的棱长为a，求正四面体体积。

分析：设四面体为A－BCD。常规作法也不乏是个好办法：具体作出顶点A到底面BCD的距离，根据正三角形的对称性可知，A在底面的射影必在BCD的中心上，再构造截面计算便得。

评注：一旦正四面体放入一个正方体后，成为正方体的一部分，那么正四面体的性质和特征，都可以结合正方体来完成。比如对棱的距离、体积等。因此，构造正方体来研究正四面体，为我们提供了方便。（构造正方体在某些情况下仿长方体）

2.长方体

长方体的构造范围比正方体广，有的是在正方体的构造基础之上得到的。

例9.四面体中，四个面是全等的三角形还是正四面体吗？

分析：如果对长方体及内接四面体相对结构非常熟悉的话就不难解决：观察可得，长方体的内接四面体的四个面是三角形，均是由长方体的三条不同的面对角线围成的，因此是四个全等的三角形。

评注：有效地认识正方体或长方体与其内接的四面体之间的关系，也会达到事半功倍之效！

三、其他构造

以上所述的构造方式是最常用的，在立体几何中应用的比较多，为我们解决某些题提供了一些方法。但在立体几何中，还有一些其他构造也应值得注意。

例11.求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上。

已知：∠BAC在平面α内，点P?埸α，PEAB，PFAC，PDα垂足分别是E、F、O，PE＝PF。

求证：∠BAO=∠CAO。

变题：若∠PAB=∠PAC，则P在平面α上的射影也在∠ACB的平分线上。这虽然是一个课本上的例子，但它背后却隐含着可以被我们直接利用的一些有益东西。我们可以观察从它身上反射出来的一个结构：三棱锥P－ABC，（1）若PBAB，PCAC，PB＝PC或（2）若∠PAB=∠PAC。由（1）或（2）均可得到P在平面ABC上的射影在∠BAC的平分线上。这个结论为解决问题提供了方便。

例12.已知三棱柱ABC－A1B1C1，底面是边长为5的正三角形，其中一条侧棱与底面的两边都成60°，侧棱长为4，求它的侧面积。

分析：本题的困难之处在于，难以求出侧面BCC1B1的面积，试想如能确定四边形BCC1B1的形状，那么此题的难点也就攻破了。仔细观察，图形中有我们熟悉的结构：三棱锥A1－ABC，∠A1AC＝∠A1AB=60°，则可知A1在平面ABC上的射影O在∠BAC的平分线上，这样就可以构造一个线面垂直：BC平面A1AO，易得BCC1B1是一矩形。

评注：解题要抓住关键，本题的关键就在于判断BCC1B1形状，对现成的图形要学会提炼简图，为解题服务。

以上所涉及的均是将空间图形进行变形处理，这是学好立体几何的硬功夫，也是空间想象能力深化的标志。因此，我们在教学过程中，应有意识地加强这方面的训练，使原本僵化、呆板的空间图形变得灵活、有生气；使学生原本枯燥的学习变得生动、有趣！这样才能在立体几何问题上处于不败之地！

（作者单位 江苏省震泽中学）