对系统应用能量解题的思路

应用能量解决有关系统的问题需要注意：一是建立解题模型，化繁琐的物理情景为简单的模型. 二是建立思考程序，化抽象的方法为具体的步骤.

一、绳模型

例1 如图1，跨过同一高度处的光滑滑轮的细线连接着质量相同的物体[A]和[B]，[A]套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆高度为[h=0.2m].开始让连接[A]的细线与水平杆夹角[θ=53°]，将[A]由静止释放，在以后的运动过程中，求[A]所能获得的最大速度[（cos53°=0.6，sin 53°=0.8）].

图1

分析 对[A]球与[B]球的联系分析：由于物体[A]与物体[B]用绳子拴着，它们的联系是通过绳子来体现的，所以[A、B]两物体沿着绳子方向的速度大小相等，当物体[A]滑至左滑轮正下方达最大速度[vAm]时，物体[A]沿绳方向的速度分量为零，即此时物体[B]速度为零.

对[A]球与[B]球的几何分析：由于绳长不变，物体[B]下移的高度为[hB=hsinθ-h]

对[A]球与[B]球的能量分析：物体[B]的重力势能减少了[mg（hsinθ-h）]，物体[A]的动能增加了[mv]，对于[A、B]组成的系统，机械能守恒.

解析 当物体[A]滑至左滑轮正下方达最大速度[vAm]时，物体[A]沿绳方向的速度分量为零，即此时物体[B]速度为零，此过程物体[B]下移的高度，有

[hB=hsinθ-h]

由[A、B]组成的系统机械能守恒，有

[mg（hsinθ-h）=12mvAm2]

所以[vAm=2gh1sinθ-1]

二、杆模型

例2 光滑的长轨道形状如图2，底部为半圆形，半径为[R]， 固定在竖直平面内，[A、B]两质量相同的小环用长为[R]的轻杆连接在一起，套在轨道上.将[A、B]两环从图示位置由静止释放，[A]环与底部的距离为[2R].不考虑轻杆和轨道的接触，即忽略系统机械能的损失，求[A]环到达最低点时，两环速度大小.

图2

分析 对[A]环与[B]环的联系分析：由于[A]环与[B]环用木杆连着，它们的联系是通过木杆来体现的，所以[A]环与[B]环在沿着木杆的方向速度大小相等.

对[A]环与[B]环的几何分析：当[A]环到达轨道最低点时，[B]环也已进入半圆轨道，如图3.

对[A]环与[B]环的能量分析：[A]环下降，它的动能和重力势能增加；[B]环下降，它的动能和重力势能增加. 对于[A]环与[B]环所组成的系统，机械能守恒.

解析 当[A]环到达轨道最低点时，[B]环也已进入半圆轨道，如图3，由几何关系知两环的速度大小相等（设为[v]），由机械能守恒定律，有

图3

[12?2mv2=mg?2R+mg（2R+Rsin 30°）]

解得[v=3gk2]

三、接触模型

例3 如图4，一个内壁光滑的半圆形圆弧槽，半径为[R]，质量为[m]，放在光滑的水平地面上，现将一根质量为[M]的光滑木棒由圆弧槽的顶端自由释放，由于木棒放置在卡槽内导致木棒不能水平移动，当木棒运动到圆弧槽底端时，圆弧槽的速度是多少？

图4

分析 对木棒与圆弧槽的几何分析：木棒运动到圆弧槽底端下降的高度为[R]，圆弧槽水平移动了位移为[R].

对木棒与圆弧槽的能量分析：木棒运动到圆弧槽底端， 其重力势能减少了[Mg?R]， 圆弧槽水平移动， 它的动能增加. 对于木棒和圆弧槽所组成的系统，机械能守恒.

解析 以木棒和圆弧槽组成的系统为研究对象，由机械能守恒定律，有

[12?mv2=Mg?R]

解得[v=2MgRm]

四、弹簧模型

例4 如图5，轻弹簧一端与墙相连处于自然状态，质量为4kg的木块沿光滑的水平面以5m/s的速度运动并开始挤压弹簧，求木块被弹回速度增大到3m/s时弹簧的弹性势能.

图5

分析 对木块与轻弹簧的能量分析：木块的速度由5m/s变成3m/s，木块的动能减少，弹簧被压缩，弹簧的弹性势能增加. 对于木块和弹簧所组成的系统，机械能守恒.

解析 由机械能守恒，有

[12mv02=12mv12+Ep1]

所以[Ep1=12mv02-12mv12=12]×4×（52-32）J=32J

如 图，质量为[m1]的物体[A]经一轻质弹簧与下方地面上的质量为[m2]的物体[B]相连，弹簧的劲度系数为[k，A、B]都处于静止状态. 一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体[A]，另一端连一轻挂钩. 开始时各段绳都处于伸直状态，[A]上方的一段绳沿竖直方向. 现在挂钩上悬挂一质量为[m3]的物体[C]并从静止状态释放，已知它恰好能使[B]离开地面但不继续上升. 若将[C]换成另一个质量为[（m1+m2）]的物体[D]，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次[B]刚离地时[D]的速度的大小是多少？已知重力加速度为[g].

[v=2m1（m1+m2）g2（2m1+m3）k]