把儿童思维带到高速公路的入口处

“运用数学的思维方式进行思考”是数学课程的重要目标。特级教师汤卫红所倡导的“儿童数学”教学主张认为：数学思维的抽象性、严密性、深刻性与儿童思维发展的阶段性特征之间的矛盾是“儿童数学”所要解决的一对主要矛盾。如何基于儿童的思维特征，促进儿童在数学思维本质特征方面的初步发展是“儿童数学”必须作出实践应答的问题。汤卫红老师用自身的课堂实践诠释了如何帮助儿童找到发展数学思维的“高速公路入口处”，给儿童“带得走”的东西，让儿童一路走得顺畅，不断向目标胜利迈进。下面就以他在宿迁举行的2013年江苏省“教海领航”活动中执教的“用‘倒推’的策略解决问题”一课为例，欣赏他对发展儿童数学思维的精彩课堂演绎。

师：汤老师这次到同学们美丽的家乡来玩，得带些钱。带了多少钱呢？（出示“佰”）这些钱还不够，看看还带了多少钱？（出示“仟”）。

师：上完课，我特别想去两处名胜。（出示项王故里、乾隆行宫图片）谁来介绍介绍？（生介绍略）

师：听了同学们的介绍，我恨不得现在就去看看。汤老师也给同学们带来了礼物。这就是猜字游戏。想猜吗？这两张画片背后分别藏着一个汉字，第一个字去掉部首剩下的就是“佰”。猜猜是什么字？

生：我猜是“宿”。给“佰”添上“宀”，就是“宿”。

师：第二个字去掉部首，又添上另一个部首是“仟”。猜猜是什么字？

生：我先去掉“亻”，再添上“辶”，就是“迁”。

师：看来宿迁真是藏金纳宝之地啊！（众笑）刚才的游戏中，同学们与其说是猜中的字，还不如说是推理得到了字。说说你们是怎么推理的。

生1：画片背后的字去掉部首是“佰”，我就反过来给它添上部首。

生2：第二个字去掉部首，再添上部首是“仟”。就要先去掉部首，再添上另一部首。我发现这种推理与正过来推理的方向正好相反。（掌声）

■郑毓信教授指出：“数学思维与一般思维之间存在着相互依赖、互相促进的关系。”推理（包括逆向推理）并不只是数学所独有的思维方式。数学的学习需要以儿童生活为其广阔背景，儿童在生活中和其他课程的学习中已经或多或少地应用过推理。推理在儿童的思维中具有普遍意义。汤老师深谙“倒推”策略与推理这一般思维之间的内在关联，不着痕迹地以猜字游戏为载体，充分激活儿童的已有推理经验，并引导儿童通过对思维过程的梳理、反思强化逆向推理的思维意识，提升了思维的元认知水平，有机渗透了接下来的数学学习中即将使用的思维方式，为“倒推”策略的学习与已有思维经验的对接提供了“绿色通道”。汤老师在选择猜字游戏的题材时可谓独具匠心。他自然、巧妙地通过与儿童的“常规”交流引出“谜面”，而“谜底”又恰恰是儿童的家乡地名，给人以浑然天成之感。由此激起的家乡亲切感、内容亲近感、教师亲和感无疑成为教学成功的情感基调。

■逐级抽象中建立思维模型

学生用画图、列表等方法对例1（图文大意：甲、乙两杯果汁共400毫升，从甲杯倒入乙杯40毫升后，两杯果汁同样多。原来两杯果汁各有多少毫升？）进行了表征。

师：用画图、列表的办法来表达题意、帮助思考有什么优点和缺点？

生1：画图的好处是能让我们看出倒回去的过程，但比较麻烦。

生2：列表的好处是简洁、明了，但看不出思考的过程。

生3：它们都有一个缺点，没有表示出原来到现在的变化情况。

师：那你有什么想法？

生3：有没有一种办法能克服这个缺点而且能把画图和列表的优点结合起来？

师：咱们来试试看！请同学们试着结合的方法把图和表进行简化和加工，把甲杯的变化过程和倒回去推想的过程表达清楚。

师：现在还能看懂吗？（能！）“-40”表示什么？“+40”呢？

生4：“-40”表示倒出40毫升，“+40”表示倒进40毫升。

师：其实，果汁量只经过了一次变化，我们却用了两个箭头。能不能把“倒出”和“倒进”的情况分别写在箭头的上面和下面，再做进一步的简化。

■儿童在数学学习中，思考过程是直观思维、具体形象思维和抽象逻辑思维三个方面的结合。儿童的数学学习应当是他们生活常识的系统化。弗赖登塔尔认为，儿童与其说是学习数学，倒不如说是学习“数学化”。因此，汤老师注重引导儿童从已有的“数学现实”出发，经过反思，逐步达到“数学化”，也即实现由具体到抽象的过程。汤老师所创设的“倒果汁问题”是生活情景的再现，与儿童的生活体验和积累的直观思维相关联。“倒回去”便是“倒推”策略的直观化的形象表达。借助直观示意图这一表征方式，很容易唤醒儿童 “倒回去”的具体表象，使策略植根于儿童的经验思维。而在此基础上的表格表征，则是一种半抽象的结构化，能够让儿童筛选并把握问题中的关键信息。但对于学习“倒推”策略来说，仅仅借助于画图、列表远远不够。适合用“倒推”解决的问题特征是已知事情发展变化的过程和结果，求事物的原来状态。因此，倒推的关键是要能正确、合适地表征变化过程。汤老师基于儿童的已有表征逐步抽象、建构起“箭头图”这一具有一般性的数学模型，并最终内化为儿童的表征方式。课堂中，师生共同建立起箭头图与直观图、表格等其他表征方式之间的联系，并使箭头图直观地包摄其他表征，且自然地由儿童经验中生长出来。汤老师把符号化的数学模型与学生数学经验的互动作为策略学习的基本途径。儿童的数学学习在汤老师的课堂上是一个有指导的再创造过程，实现了由外部活动向内部活动的转化，表征模型也逐步实现数学化、严格化和形式化。儿童惊喜地体会到：一旦用箭头图表征成功，还原的过程便是一种近乎机械的程式化操作。创造后的旧题再现，让儿童产生了一种“熟悉的陌生感”，赋予了原有知识更为丰富和深刻的思维含量。例2中的研究则是儿童独立地应用模型，作出解释的过程。汤老师已经把儿童带到了能够正确应用逆向思维解决问题的高速公路入口处。

■辨析比较中深化思维本质

出示：小军收集了一些邮票，他拿出邮票的一半还多1张送给小明，自己还剩25张。小军原有多少张邮票？

师：送出一半还多1张，怎么送？能不能做一个分解动作？（学生上前演示）

师：同学们可以选择箭头图、线段图、方形图（用一正方形表示“原有张数”）等来表达题意，然后再列式解答。

学生完成后汇报，但出现了“（25+1）×2=52”和“25×2+1=51”两种不同做法。

师：真好！课堂上出现了两种不同的声音。咱们双方代表可以展开对话，互相提问、质疑、回答。

正方：我先来！你们说原来有51张，那请你们检验一下，“一半多1张”怎么送？

反方：就是送25+1张啊！

正方：对方辩友（众笑），你慢着，先说说这送出一半是多少？

反方：51÷2=25.5张啊！

正方：难道要把邮票撕成两半不成？

反方（涨红了脸）：那我们可能不对。如果你能说出我们错在哪里，我们才心服口服！

正方：哈哈！我来告诉你们吧！你们是倒推的顺序错了。请看箭头图，原来是先除以2，再减1，倒回去就应该是先加1，再乘2。也就是小军反悔时（众笑），先要回1张，再要回另一半。

正方：你们也可以看看线段图或方形图，25先加1才是一半，然后乘2才得到原有张数。

反方：谢谢！我明白了！

师：错误也是一种资源。想想看，如果用这样的算式解决，题目应该怎么出？（生画出箭头图思考并回答）

师：比较两道题，你想提醒同学们注意什么？（生答略）

师：如果原来题中的“还剩25张”改成“一共送出25张”，又怎么表达题意和思考呢？

…………

■倒推策略的上位思想是可逆思想。在倒推策略学习中，儿童较高层次的逆向思维的形成需要经历一个过程，而且这个过程并不一定一帆风顺。受顺向思维的影响，看似简单、容易理解的问题往往容易出错。汤老师给学生出错的机会，引发的反省思维恰恰促进了儿童对倒推策略应用的进一步体悟。尽管是千人公开课，汤老师却能大胆暴露儿童的错误及其思维过程，直面问题，放大正误对比效应，果断地引导双方展开辩论，生成出一段“意外”的精彩对话，可谓“艺高人胆大”。对话的过程对正方来说，是一个思维反刍、深化的过程，是对逆向思维本质的再把握，是策略意识的再提升；而对反方来说，则是一个思维激烈冲突、箭头图价值凸显、逆向思考中顺序意识强化的过程。双方最终形成共识则充分体现了群体性学习的价值。更为绝妙的是，汤老师杀个“回马枪”：让儿童根据错误算式出题！这本身就是可逆思想的一种体现：算式箭头图问题原型。这个过程更让儿童体会到箭头图作为解题和问题之间的桥梁所起到的重要表征作用，深刻领会到模型的意义。而重构后的问题与原题的比较又进一步深化了逆向思维的本质要义。将“还剩25张”变式为“一共送出25张”则让儿童和听课老师都注意到一个十分容易忽略的问题要素――变化的目标，从而意识到变化的目标变了，变化的方向也随之变化，表征及倒推也应相应变化。汤老师高屋建瓴的处理无疑让我们对逆向思维的本质属性有了更深层次的认识，无论对于儿童学习还是教师教学都有深刻的启迪。汤老师留给儿童的思维智慧是能够“带得走”的东西，并且能够自信地在高速公路上快速行走。（作者单位：江苏省如皋市安定小学）■

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