数字图像处理中偏微分方程方法研究

【摘 要】图像是重要的信息媒介，图像处理技术始终是信息研究的重要方向，偏微分方程是一种数学方法，突出的扩散方向和扩散项决定其对图像处理大有帮助，因此在图像处理中得到了广泛的应用。

【关键词】图像处理 偏微分方程 模型构建 处理步骤

一、图像处理的基本方式

（一）信号分析处理

信号处理的方式是利用空间变化的思路，空间变换的方法就是从早期的频域变换发展而来形成了小波变换。小波变换在时域同时有良好的的局部分析特征，可以实现在多个尺寸上的多分辨特性。小波变换在图像压缩中获得了较好的效果。

（二）随机建模的处理

数字图像在形成的过程中有随机性，所以二维的图形实际是一个随机的场。所及建模的方式是按照随机场对图像域建模，以此描述图像域邻域像素的分布情况，从而完成对图形的描述。通常采用的随机建模方式有高斯混合模型等。随机场模型可以对图形的纹理进行细致描述。

（三）偏微分处理

偏微分方程是一种数学方式，对数字影像进行处理，利用空间域内的像素灰度值进行微分处理，利用二阶方程表征图形中区域边界的特征。微分方程具有各项异性的扩展特征，在不同的图像特征上显示的扩展性能也就不同，所以利用方程迭代处理图形可最大限度的保持边缘特征，同时获得重建的平滑区域。

二、偏微分方程和图像处理的应用

当前利用物理学和力学的变分和偏分方程方法的图像处理技术在计算机图形处理领域已经开辟了新的领域，基于偏分方程的图形处理方式已经获得了重视和良好的效果。其基本的思路就是在一个偏微分方程模型中发展一个图形，一条曲线、一个曲面等，利用求解这个偏微分方程来获得图形处理的期望值。变分和偏微分方程使得数字图像处理进入了一个新的领域。

（一）偏微分方程处理的主要领域

对图形进行去噪处理：图形去噪的典型分析与计算方法是高斯低通滤波器，也即是热扩散方程，因为高斯滤波器在去找的过程中不能保持良好的边缘特征，所以多数研究都是对该特征进行改进，其中较为有效的方式就是由Perona 和 Malik 提出的 P-M 方程，公式如下：

公式中，迭代步长dt，It是迭代项，ΔI则是拉普拉斯算子，c则代表传导系数。其中div是散度算子，代表梯度算子， Δ是拉普拉斯斯算子。在实际的应用中为了保证模型的收敛性，通常利用经验值，取迭代步长dt值为0.25。在此基础上，PDE去噪的基本思路如下：1）在图像相同质量特征的区域内进行减弱噪声扩散的处理；2）控制区域边界未知不扩散，并保持边缘的基本特征。因为P-M是一个病态问题，所以有研究提出对梯度值正则化处理，然后获得相对稳定的P-M方程。有人提出直接使用扩散张量作为扩散项，从而实现张量偏微分的方程模型。这个模型可以在一个方向上获得快速扩散，而在正交的另一个方向缓慢扩散，由此获得边缘去噪的效果。

图形的放大处理：对图像进行插值放大，获得超分辨率的分析。偏微分方程可以按照图像边缘、水平曲线等几何特征实现插值放大。所以偏微分方程可以最大限度的保持边缘的细节特征，同时可以减弱噪声的影响。在研究中提出基于偏微分方程拟合水平集曲线的图形像素重构。也就研究提出了一种复扩散偏微分方程被放大模式，在减弱锯齿效应的同时，可以锐化边缘的特征。

图形的分割处理：图形的分割也是图像处理的重要内容，计算机和图像处理按照使用的图像特征进行分类处理，可以分为基于边界的分割、基于区域的方法，以及混合分割的方法。如按照使用数学工具和模型，其主要的方法有：基于聚类的方法；基于统计学的方法；基于数学形态的方法；基于偏微分方程的方法，主要有蛇形模型等；基于Graph cut的方法。

（二）图像处理的偏微分模型

在图形处理中，偏微分方程模式有很多种，其中一种是在变分原理的基础上对函数进行优化，这个方式首先对一个特定的图形处理模式，通过变分原理实现对能量函数模型的优化，这样就可得到偏微分方程，通过对偏微分方程数值求解由此完成图形的处理任务。如：整体变分能量泛函

利用此模式就可完成对函数的优化。

三、基于偏微分方程的图形处理的步骤

作为图像处理的一个重要工具，在变分和偏微分方程的图像处理的基本框架和基本步骤如下：1）明确实际问题的出现和处理思路建立，因为不同的应用问题有不同的处理思路和特征，因此采用的处理方式也就不同，所以在处理图像问题时应先掌握问题的关键。2）构建相关数学模型，这一步骤是处理图像的重要步骤，其影响的是处理的过程和结果，数学模型构建将直接影响处理的效果，对微分方程、变分方法、微分几何等进行合理选择与组合，以此获得较好的处理结果，提高处理的有效性。3）模型分析：主要是对模型的适应性进行分析，了解模型解是否存在、解是否唯一、方法是否稳定等，4）分析计算：利用数学模式进行求解，进行微分方程的数值分析，利用有限差分、有限元、迭代法等进行计算，这一步骤会影响相关数学求解的收敛性、稳定性、计算量等。5）程序实现：这个步骤是解决问题的最终步骤，这一步骤的一些问题可以导致前面工作的重新修改，必须慎重操作。

四、结束语

偏微分方程是一种高效的数学处理工具，在图像处理中也获得了较好的效果。连续区域上建立模型，方便对实际问题的处理和数值计算。数学上丰富的偏微分方程处理理论和计算方式，对图形处理的理论分析和算法都给予了较大的帮助，同时不断完善的计算和处理方式将帮助偏微分方程提高图像处理的效果。

参考文献：

[1]李艳霞.基于变分偏微分方程的图像分解研究与应用[D].中国海洋大学学位论文，2009.

[2]王超.基于变分问题和偏微分方程的图像处理技术研究[D].中国科学技术大学学位论文，2007.

[3]万山.融合偏微分方程和中值滤波的图像去噪模型[J].计算机应用，2011，31.