基本初等函数例谈

指数函数、对数函数、幂函数是高考数学中三类常见的重要函数，是历年高考的必考内容. 本文以2011年高考题为例，谈谈高考对这三类基本初等函数的课标要求，以及解题注意事项，希望对同学们有所帮助.

一、 指数函数

1. 课标要求

（1） 通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；

（2） 理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；

（3） 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；

（4） 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．

2. 解题注意事项

（1） 指数函数的性质：

定义域为R，值域为（0，＋∞）；

当0＜a＜1时为减函数，当a＞1时为增函数．

（2） 函数图象：

① 指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；

② 指数函数都以x轴为渐近线（当01时，图象向左无限接近x轴）．

例1 （湖北理科卷） 放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变. 假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0×2■■，其中M0为t=0时铯137的含量. 已知t=30时，铯137含量的变化率是-10ln2（太贝克/年），则M（60）=（ ）

A. 5太贝克 B. 75ln2太贝克

C. 150ln2太贝克 D. 150太贝克

解析 因为M（t）=M0×2■，则其变化率为M′（t）=-■×2■ln2.

又由M′（30）=-10ln2，则M0=600，所以M（60）=600×2■=150. 故选D.

二、 对数函数

1. 课标要求

（1） 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；

（2） 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；

（3） 知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a＞0，a≠1）．

2. 解题注意事项

（1） 对数函数的性质：

定义域为（0，＋∞），值域为R；

当0＜a＜1时为减函数，当a>1时为增函数；

（2） 对数函数与指数函数互为反函数；

（3） 对数函数图象：

① 对数函数的图象都经过点（1，0），且图象都在第一、四象限；

② 对数函数都以y轴为渐近线（当01时，图象向下无限接近轴）.

例2 （辽宁理科卷）设函数f（x）=21-x， x≤1，1-log2x，x>1，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）

A． ［-1，2］ B． ［0，2］ C． ［1，+∞） D． ［0，+∞）

解析 依题意可得x≤1，21-x≤2或x>1，1-log2x≤2. 解此不等式组，可得0≤x≤1或x>1，即x≥0． 故选D.

例3 （天津文科卷）已知a=log23.6，b=log43.2，c=log43.6则（ ）

A． a>b>c B． a>c>b C． b>a>c D． c>a>b

解析 a=log23.6>log22=1，又y=log4x为单调递增函数，

log43.2

b

三、 幂函数

1. 课标要求

（1） 了解幂函数的概念，能够运用函数的性质和幂函数的性质解决某些简单的实际问题；

（2） 结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x－2的图象，了解它们的变化情况．

2. 解题注意事项

（1） 幂函数因幂指数不同而性质各异，图象更是多样，熟悉某些图象的分布，着重掌握图象在第一象限的部分，抓住特殊点（1，1），并注意与y＝x和y＝x－1进行比较，掌握它们的变化规律；

（2） 在（0，1）上，幂函数的指数越大，函数图象越靠近x轴，在（1，＋∞）上，幂函数的指数越大，函数图象越远离x轴；

（3） 幂函数的图象过（1，1）点，图象会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否会出现在第二、三象限内，要看具体函数的奇偶性．

例4 下列四个结论中，正确的是（ ）

A. 幂函数的图象都经过点（0，0），（1，1）两点

B. 幂函数的图象不可能出现在第四象限

C. 当n＞0时，幂函数y＝xn的值随x的增大而增大

D. 当n＝0时，幂函数y＝xn的图象是一条直线

解析 当a＞0时，幂函数的图象过点（0，0）；当a＜0时，幂函数的图象不过原点，则A错. 当n＞0时，幂函数y＝xn在第一象限内y随x的增大而增大，则C错. 当n＝0时，幂函数y＝xn中x≠0，则它的图象是两条射线，则D错． 故选B.

评注 幂函数的学习，容易受到指数函数学习的影响，造成这样或那样的错误，同学们在学习中应注意它们的区别与联系．