时间：2022-10-04 06:00:46
摘要：数学的研究不是死做题、多做题，而是研究各种方法的共性，浓缩其精髓概括其要领。本文试图从数列求和不等式的证明结合历年高考试题领会消项裂项的技巧方法，旨在提高学生的解题能力。
关键词：数列求和 消 裂项 放缩 无穷 有穷
中图分类号：G633.6 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.16.142
数列求和不等式的证明是高中数学教学的重难点，也是历年高考压轴题的热点。然而通过深入的研究会发现：数列求和（本文所讲的方法）与用累加累积法求数列的通项公式的方法原理有许多相通之处―― “无穷”向“有穷”的转化（通过许多式子的相加或相乘来抵消中间项，留下两头），即一个“消”字为其精髓。
1 方法原理
1、 求和：Sn=1+2+3+4+…+n.
解答：n=[n（n+1）
2]-[n（n-1）
2]
1=[1（1+1）
2]-[1（1-1）
2]，2=[2（2+1）
2]-[2（2-1）
2]，3=[3（3+1）
2]-[3（3-1）
2]，…n=[n（n+1）
2]-[n（n-1）
2]
上式累加的
Sn=1+2+3+4+…+n=[1（1+1）
2]-[1（1-1）
2]+[2（2+1）
2]-[2（2-1）
2]+[3（3+1）
2]-[3（3-1）
2]+…+[n（n+1）
2]-[n（n-1）
2]=[n（n+1）
2]
求和：Sn=12+22+32+42+…+n2.
解答：n2=[n（n+1）（2n+1）
6]-[n（n-1）（2n-1）
6]
12=[1（1+1）（2×1+1）
6]-[（1-1）×1×（2×1-1）
6]，
22=[2（2+1）（2×2+1）
6]-[（2-1）×2×（2×2-1）
6]
…n2=[n（n+1）（2n+1）
6]-[n（n-1）（2n-1）
6]
上式累加得
Sn=12+22+32+42+…+n2=[n（n+1）（2n+1）
6].
上面两个例子看起来好像有点牵强，但提供给我们一个数学基本方法：（裂项加减相消）把无穷消中间变成有穷。从中可总结如下：
（1）形如：证明a1・a2…・an= [n+1] （或[ 1
[n+1]]）可先证为：an= [n+1] [n] （或an= [n+1] [n] ）后再累积即可。
（2）形如：证明a1+a2+…an= [n+1]或先证an= [n+1]- [n]后再累加即可。
2 方法迁移
已知函数f（x）=[1-x
ax]+lnx.
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正数a的取值范围；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，都有lnn>[1
2]+[1
3]+[1
4]+…+[1
n].
解答：（Ⅰ）（Ⅱ）略
（Ⅲ）欲证lnn>[1
2]+[1
3]+[1
4]+…+[1
n]，只需ln-lnn（ n-1）>[1
n]证即可.
由（Ⅰ）可知：当a=1时，f（x）=[1-x
x]+lnx在[1，+∞）上为增函数
从而f（x）=[1-x
x]+lnx≥f（1）=0[1，+∞）在上恒成立，
即lnx>[x-1
x]在[1，+∞）上恒成立，
令x=[ n
n-1]，显然x=[ n
n-1]>1，故ln[ n
n-1]>[1
n]即lnn-ln（ n-1）>[1
n]成立.
于是ln2-ln1>[1
2]，ln3-ln2>[1
3]，ln4-ln3>[1
4]，…，lnn-ln（ n-1）>[1
n]
上式累加即得到lnn>[1
2]+[1
3]+[1
4]+…+[1
n].
3 积累基本放缩
让学生掌握如下裂项相消放缩能更灵活地把“无穷”化为“有穷”：
11、利用二项式定理放缩。
4 两个万能
下列两个万能方法，可让学生更能领悟“消”技巧：
1、若证明a1+a2+a3+…an
2、若证明：a1・a2・a3・…an
Tn-1] ]既可（实质上是累积消项）
参考文献：
[1]吕辉.不等式放缩问题，临考前答学生问[J].中学数学杂志，2012，（5）.
作者简介：莫宏平，贵州省清镇市第一中学，贵州清镇 551400