解析几何最值问题常用求解策略

解析几何沟通了数学内数与形，代数与几何等最基本对象之间的联系.下面我举例说明最值问题的解题策略.

一、几何策略

若题目条件和结论能明显体现几何特征及几何意义，则可数形结合，考虑利用曲线的定义或几何性质来处理.

1.巧用定义

圆锥曲线的定义刻画了动点与定点（或定直线）距离之间的不变关系.我们利用这种不变关系，将动态问题赋予静态环境去处理，可很快解决问题.

例1：已知点A（7，3）为一定点，F为双曲线-=1的右焦点，M在双曲线右支上移动，当|AM|+|MF|最小时，求点M的坐标.

解：过点M作MP准线l于点P，则=2，所以|MF|= |MP|，|AM|+|MF|=|AM|+ |MP|≥|AP|，当且仅当A、M、P三点共线时，|AM|+|MF|最小，所以y=y=3，代入双曲线方程，得x=2，故M点的坐标为（2，3）.

2.利用平几知识

例2：求证:以抛物线y=2px过焦点的弦AB为直径的圆上点的横坐标的最小值为-.

证明:过点A、B分别作AC，BD垂直于l，垂足为C，D，只要证圆与抛物线准线相切即可.

由抛物线的定义知|AC|=|AF|，|BD|= |BF|，所以|AB|=|AC|+|BD|.又设MH为梯形ACBD的中位线，由梯形中位线性质知|MH|=（|AC|+|BD|）=|AB|，即|MH|为圆半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，从而得证.

3.数形结合

对于一些“貌似”代数最值问题，若能赋予其恰当的几何意义，则能收到事半功倍的效果.

例3：如果实数x，y满足（x-2）+y=3，求的最大值.

解:把=视为圆上任一点（x，y）与原点连线的斜率，显然当直线如图所示的OM所在直线时，其斜率最大，又|AM|=，|OA|=2，所以∠MOA=，从而所求最大值为tan∠MOA=，故答案为.

二、代数策略

解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科，那么我们在研究解析几何最值问题时，如果题中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，就可以考虑先建立目标函数，然后再求其最值.

1.配方法

例4：已知双曲线C：-y=1，P为C上的任意点，设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值.

解：设点P的坐标为（x，y），则：

|PA|=（x-3）+y=（x-3）+-1=（x-）+.

|x|≥2，当x=时，|PA|取最小值，即|PA|的最小值为.

2.利用不等式

例5：已知点A（0，2），B（0，8），在x轴正方向上有一点M（a，0）使∠AMB最大，求a的值.

解：因为K=-，K=-，所以tan∠AMB===≤=，当且仅当a=时，即a=4时，等号成立，故a的值为4.

3.三角替换

曲线参数方程用三角形式表示，为我们将某些最值问题化为三角函数来研究提供了可能.

例6：在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆+y=1上的一个动点，求S=x+y的最大值.

解：设x=cosθ，y=sinθ，0≤θ＜2π，则S=x+y=cosθ+sinθ=2sin（θ+）.

由三角函数性质知，当θ=时，S有最大值2.

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